Question

СРОЧНО помогите, ПОЖАЛУЙСТА! 1.Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.(x-2y)y'=(x+y)2.Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.y'' + 6y' + 13y = 2cos5x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файлах

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка: У вас дано дифференциальное уравнение вида: $(x-2y)y' = (x+y)^2$.

   Давайте начнем с раскрытия и упрощения правой части уравнения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

   Теперь у нас есть уравнение: $(x-2y)y' = x^2 + 2xy + y^2$.

   Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения: $\frac{dy}{y^2} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x - 2y}dx$.

   Интегрируем обе стороны: $-\frac{1}{y} = \int \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x - 2y}dx + C$.

   Здесь $C$ - произвольная постоянная.

   Интеграл в правой части уравнения может быть сложным, но он также может быть выражен в виде элементарных функций в зависимости от конкретного вида числителя и знаменателя. Вы можете воспользоваться онлайн-калькуляторами интегралов для выполнения этой интеграции.

2. Линейное неоднородное уравнение второго порядка: У вас дано дифференциальное уравнение вида: $y'' + 6y' + 13y = 2\cos(5x)$.

   Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $y'' + 6y' + 13y = 0$. Характеристическое уравнение такого уравнения имеет вид: $r^2 + 6r + 13 = 0$. Решая это квадратное уравнение, получаем комплексные корни: $r = -3 + 2i$ и $r = -3 - 2i$.

   Общее решение однородного уравнения: $y_h(x) = e^{-3x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x))$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

   Теперь вариация постоянных. Предположим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид: $y_p(x) = A\cos(5x) + B\sin(5x)$. Подставляем это в уравнение и находим коэффициенты $A$ и $B$ из системы уравнений.

   После нахождения $A$ и $B$ общее решение неоднородного уравнения: $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.

   Здесь также $y_h(x)$ - общее решение однородного уравнения, а $y_p(x)$ - частное решение неоднородного уравнения.