Question

Упростить выражение 1) Cos(-α)sin(-β) - sin(α-β) 2) sin(α+β) + sin(pi-α)sin(-β)

Answer 1

1) -2cos a
2) Sin pi

Answer 2

Для упрощения данных выражений, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тригонометрические тождества:

• cos(-x) = cos(x) (косинус четная функция)
• sin(-x) = -sin(x) (синус нечетная функция)
• sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) (формула разности для синуса)

Теперь упростим выражение 1: Cos(-α)sin(-β) - sin(α-β)

Заменяем cos(-α) и sin(-β) согласно тригонометрическим тождествам: Cos(-α)sin(-β) = cos(α)(-sin(β))

Теперь заменяем sin(α-β) согласно формуле разности для синуса: sin(α-β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

Подставляем все обратно в исходное выражение: cos(α)(-sin(β)) - (sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))

Теперь раскрываем скобки и сгруппируем слагаемые: cos(α)(-sin(β)) - sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Далее, обратим внимание на последние два члена: - sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β). Это точно выражение для sin(α - β) согласно формуле разности для синуса.

Итак, упрощенное выражение будет: cos(α)(-sin(β)) + sin(α - β)

2. Теперь упростим второе выражение: sin(α+β) + sin(pi-α)sin(-β)

Тригонометрические тождества:

• sin(pi - x) = sin(x) (синус четная функция)
• sin(-x) = -sin(x) (синус нечетная функция)

Теперь упростим выражение 2: sin(α+β) + sin(α)sin(-β)

Заменяем sin(-β) согласно тригонометрическим тождествам: sin(-β) = -sin(β)

Теперь подставляем обратно в выражение: sin(α+β) + sin(α)(-sin(β))

Упростим дальше: sin(α+β) - sin(α)sin(β)

Обратим внимание на последние два члена: -sin(α)sin(β). Это точно выражение для sin(α - β) согласно формуле разности для синуса.

Итак, упрощенное выражение будет: sin(α+β) - sin(α - β)

Это упрощенные формы данных выражений.