Question

Интеграл от sinx/(cos^2x-2cosx+5)

Answer 1

$\int\limit { \frac{sin(x)}{cos^2(x)-2cos(x)+5} } \, dx= \int\limits { \frac{sinx}{(cos(x)-1)^2+4} } \, dx =\\|\ cos(x)-1=t\ |\\|\ -sin(x)\ dx=dt\ |\\|\ dx= -\frac{dt}{sin(x)}\ \ \ \ \ \ \ |\\= \int\limits { \frac{sin(x)}{-sin(x)(t^2+4)} } \, dt= -\int\limits { \frac{dt}{t^2+4} }= -\frac{1}{2}*arctg( \frac{t}{2})=\\-\frac{1}{2}*arctg( \frac{cos(x)-1}{2})+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(sinx/(cos^2x-2cosx+5)) dx требуется использовать технику частичных дробей. Прежде чем начать, давайте разложим знаменатель на множители:

cos^2x - 2cosx + 5

Для нахождения корней, решим уравнение:

cos^2x - 2cosx + 5 = 0

Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16

Так как D < 0, у уравнения нет действительных корней, следовательно, знаменатель не раскладывается на множители вещественных чисел.

Поскольку знаменатель неприводим, разложение на частные дроби имеет следующий вид:

sinx/(cos^2x-2cosx+5) = Asinx + Bcosx

Теперь найдем значения коэффициентов A и B:

1. Подставим x = 0: 0/(cos^2(0) - 2cos(0) + 5) = A0 + B1 B = 0

2. Подставим x = π/2: sin(π/2)/(cos^2(π/2) - 2cos(π/2) + 5) = A1 + B0 A = 1

Теперь, после определения значений коэффициентов, интеграл примет следующий вид:

∫(sinx/(cos^2x-2cosx+5)) dx = ∫(sinx + 0) dx = ∫sinx dx = -cosx + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение:

∫(sinx/(cos^2x-2cosx+5)) dx = -cosx + C