Question

Вычислите площадь фигур, ограниченных указанными линиями y=x^2+1,y=0,x=-1,x=2

Answer 1

Определённый интеграл

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигур, ограниченных указанными линиями, нужно найти площадь между кривой y = x^2 + 1 и осью x на интервале [-1, 2]. Это позволит нам вычислить площадь фигуры, ограниченной этой кривой с верхней границей и осью x с нижней границей.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 1 с осями x и вычислим площадь под кривой на данном интервале.

1. Точки пересечения с осью x: y = 0 x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 (уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат никогда не может быть отрицательным для действительных чисел x)

2. Теперь вычислим площадь под кривой на интервале [-1, 2]: Площадь под кривой y = x^2 + 1 на интервале [a, b] вычисляется с помощью определенного интеграла: S = ∫(от a до b) (x^2 + 1) dx

Вычислим интеграл для нашего интервала: S = ∫(от -1 до 2) (x^2 + 1) dx

Интегрирование: S = [(1/3) * x^3 + x] (от -1 до 2) S = [(1/3) * 2^3 + 2] - [(1/3) * (-1)^3 + (-1)] S = [(8/3) + 2] - [(-1/3) - 1] S = (8/3 + 6/3) - (-1/3 - 3/3) S = (14/3) + 4/3 S = 18/3 S = 6

Таким образом, площадь фигур, ограниченных указанными линиями, равна 6 квадратным единицам.