Question

Найдите производные функций и вычислите значение в точке x0. а) f(x)=4x6+7x5+x+1, x0=1 б) f(x)=x2(x-1), x0=-1 в) f(x)=x+1x-2 , x0=-1 г) (3x-2x2+x5)5, x0=1 д) f(x)=3x+4cosx , x0=π3

Answer 1

А) f'(x)=4*6*х⁽⁶⁻¹⁾+7*5*х⁽⁵⁻¹⁾+х⁽¹⁻¹)+0=24*х⁵+35x⁴+1
Значение в точке х₀=1; f'(x₀)=24*1+35*1+1=60
б) f'(x)=(x²)'*(x-1)+x²*(x-1)'=2x*(x-1)+x²*1=2x²-2x+x²=3x²-2x
Значение в точке х₀=-1; f'(x₀)=3*(-1)²-2*(-1)=3+2=5
в) f'(x)=1+((х)⁻¹)'+0=1-(1/х²)
Значение в точке х₀=-1;  f'(x₀)= 1-1=0
г) f'(x)=5*(3x-2x²+x⁵)⁴*(3x-2x²+x⁵)'=5*(3x-2x²+x⁵)⁴*(3-4x+5x⁴)
Значение в точке х₀=1;  f'(x₀)=5*(3-2+1)⁴*(3-4+5)=5*(2)⁴*4=5*16*4=320
д) f'(x)=3+4*(-sinx)=3-4sinx
Значение в точке х₀=ⁿ/₃; f'(x₀)=3-4sin(ⁿ/₃)=3-4*(√3/2)=3-2√3

Answer 2

Давайте найдем производные функций и вычислим значения в заданных точках.

а) $f(x) = 4x^6 + 7x^5 + x + 1$, $x_0 = 1$

Для вычисления производной функции $f(x)$ используем правило степенной производной: $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$.

$f'(x) = 6 \cdot 4x^5 + 5 \cdot 7x^4 + 1 = 24x^5 + 35x^4 + 1$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 24 \cdot 1^5 + 35 \cdot 1^4 + 1 = 24 + 35 + 1 = 60$.

б) $f(x) = x^2(x - 1)$, $x_0 = -1$

Для вычисления производной используем правило произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'(x - 1) + x^2 \cdot (x - 1)' = (2x)(x - 1) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 - 2x + x^2 = 3x^2 - 2x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5$.

в) $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$, $x_0 = -1$

Для вычисления производной функции $f(x)$ используем правило частной производной: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x - 2) - (x + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \frac{-3}{(-1 - 2)^2} = \frac{-3}{(-3)^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.

г) $f(x) = (3x - 2x^2 + x^5)^5$