Question

Помогите решить интеграл от 0 до пи/4 (sinx-cosx)/(cosx+sinx)^3

Answer 1

Сделаем замену переменной  $u=\sin x+\cos x$, тогда  $du=(\cos x-\sin x)\,dx$. u как функция от x на промежутке интегрирования монотонно возрастает от  $u_0=\sin 0+\cos 0=0+1=1$ до  $u_1=\sin\frac\pi4+\cos\frac\pi4=\sqrt2$

$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^3}\,dx=-\int_1^{\sqrt2}\frac{du}{u^3}=\left.\frac1{2u^2}\right|_1^{\sqrt2}=-\frac14$

Answer 2

Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться заменой переменных. Обозначим:

u = cos(x) + sin(x)

Тогда:

du/dx = -(sin(x) - cos(x)) (заметим, что производная u по x равна противоположной производной (sin(x) - cos(x)))

Теперь выразим dx через du:

dx = du / (-(sin(x) - cos(x)))

Также, заменим границы интегрирования:

x = 0 -> u = cos(0) + sin(0) = 1

x = π/4 -> u = cos(π/4) + sin(π/4) = √2

Теперь интеграл примет вид:

∫[(sin(x) - cos(x))/(cos(x) + sin(x))^3] dx = ∫(1/u^3) du

Теперь проинтегрируем по переменной u:

∫(1/u^3) du = -1/(2u^2) + C

Теперь подставим обратные значения u:

= -1/(2*(cos(x) + sin(x))^2) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫[(sin(x) - cos(x))/(cos(x) + sin(x))^3] dx = -1/(2*(cos(x) + sin(x))^2) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.