Question

Чтобы пронумеровать страницы книги было использовано n цифр. Найдите количество страниц книги. Нужна формула для всех n к примеру было использовано 13 цифр , а страниц оказалось 11или21 цифр , 15 страниц

Answer 1

Можно с начало определить в какой разряд (однозначное,двузначное,трехзначное итд) принадлежит данное число по количеству цифр n. 
Очевидно n это непроизвольное число, так как цифры образуют разряд числа. 
 
Для чисел 1 до 99  всего от 1 до 189 цифр (9+2*90=189) цифр, страницу можно найти по формуле  (n-9)/2+9 = (n+9)/2 

Для чисел от 100 до 999 всего от 189+3 до 189+3*900=2889 цифр, страницу можно найти по формуле (n-189)/3+99 = (n+108)/3   
 
Для чисел от 1000 до 9999 всего от 2889+4 до 2889+4*9000=38889  страницу можно найти по формуле (n-2889)/4+999 = (n+1107)/4  

итд то есть реккурентная формула будет иметь вид, для k-разряда 
S=(n-(9+2*90+3*900+4*9000+...))/k+(10^(k-1)-1)  = 
 (n-9(1+20+300+4000+...))/k+(10^(k-1)-1)  

 Найдем сумму 1+20+300+4000+.... = 1+2*10+3*10^2+4*100^3=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...+y*x^(y-1)  тогда рассмотрим сумму функцию 
 x+x^2+x^3+x^4...+x^y ее производная x+2x+3x^2+4x^2+...+yx^(y-1) значит найдя сумму x+x^2+x^3+...+x^y=(x^y-1)/(x-1) (геометрическая прогрессия) 
Найдя ((x^y-1)/(x-1))' и заменяя x=10 и y=k+1 
Получаем (10^k*(9*k-1)+1)/81 то есть сумма 1+2*10+3*10^2+4*100^3+... вычисляется по формуле (10^k*(9*k-1)+1)/81  
Подставляя в
  $S=\frac{n-\frac{10^k \cdot (9k-1)+1}{9}}{k}+(10^{k-1}-1) = \\ S = \frac{9n+10^k-9k-1}{9k}$ 


То есть к примеру для n=13 получаем k=2 то есть (двузначное число) 
откуда S=(9*13+10^2-9*2-1)/18 = 11 страниц  
Для n=21 получаем k=2 подставляя S=(9*21+10^2-9*2-1)/(18)=15 страниц 

Как определить k можно по оценке, то есть исходя из того какое n , допустим для двузначных чисел количество цифр от 1 до 189 цифр итд 

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче.

Предположим, что для нумерации страницы были использованы n цифр. Обозначим количество страниц книги за S. Нам нужно найти формулу, которая позволит нам определить S, зная n.

Для начала, определим сколько цифр требуется для нумерации определенного количества страниц.

1. Если у книги 1-9 страниц, нам потребуется 1 цифра.
2. Если у книги 10-99 страниц, нам потребуется 2 цифры.
3. Если у книги 100-999 страниц, нам потребуется 3 цифры.
4. И так далее.

Мы можем заметить закономерность, что количество цифр, которое требуется для нумерации страниц, растет с увеличением количества страниц. Для определения формулы, учитывающей эту закономерность, давайте рассмотрим примеры:

1. При n = 13 цифр и количество страниц S = 11 или 21. Здесь нам потребовалось 13 цифр для нумерации 11 или 21 страницы. Из этого примера мы видим, что число цифр n примерно равно количеству страниц S.

2. При n = 15 цифр и количество страниц S = 15. Здесь нам потребовалось 15 цифр для нумерации 15 страниц. Мы видим, что число цифр n равно количеству страниц S.

Исходя из этих примеров, можно предположить, что формула будет примерно следующей:

S ≈ n

Однако, стоит учесть, что данная формула может не быть точной и может иметь небольшие отклонения в зависимости от того, как была осуществлена нумерация страниц. Например, если нумерация начинается с числа 1 и предполагается, что все цифры от 1 до 9 использованы перед переходом к двузначным числам, то формула S ≈ n будет приближенной и иметь некоторые исключения.

Надеюсь, это помогло вам понять, как приблизительно найти количество страниц книги, если известно количество использованных цифр для нумерации.