Question

Найдите производную функции: а) f(x)=-2x^3 дробь 3+2x^2-x б)ф(х)=4 дробь х^2+х

Answer 1

F'(x)=(-6x^2(3+2x^2-x)-(4x-1)(-2x^3))/(3+2x^2-x)^2
ф'(х)=-8x^(-3)-4x^(-2)

Answer 2

Для нахождения производных данных функций применим правило дифференцирования элементарных функций и правило дифференцирования сложной функции.

а) Найдем производную функции f(x)=-2x^3 / (3+2x^2-x):

Используем правило дифференцирования сложной функции (для дробной части):

Пусть u(x) = -2x^3, v(x) = 3 + 2x^2 - x. Тогда f(x) = u(x) / v(x).

Производная дробной части: f'(x) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2.

Теперь найдем производные u(x) и v(x):

u'(x) = d/dx(-2x^3) = -6x^2, v'(x) = d/dx(3 + 2x^2 - x) = 4x - 1.

Теперь подставим значения в формулу для f'(x):

f'(x) = ((3 + 2x^2 - x) * (-6x^2) - (-2x^3) * (4x - 1)) / (3 + 2x^2 - x)^2.

f'(x) = (-6x^2(3 + 2x^2 - x) + 2x^3(4x - 1)) / (3 + 2x^2 - x)^2.

f'(x) = (-18x^2 - 12x^4 + 6x^3 + 2x^3 - 2x^4) / (3 + 2x^2 - x)^2.

f'(x) = (-20x^4 + 8x^3 - 18x^2) / (3 + 2x^2 - x)^2.

Итак, производная функции f(x) равна: f'(x) = (-20x^4 + 8x^3 - 18x^2) / (3 + 2x^2 - x)^2.

б) Найдем производную функции f(x) = 4 / (x^2 + x):

Используем правило дифференцирования сложной функции:

Пусть u(x) = 4, v(x) = x^2 + x. Тогда f(x) = u(x) / v(x).

Производная дробной части: f'(x) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2.

Теперь найдем производные u(x) и v(x):

u'(x) = d/dx(4) = 0, v'(x) = d/dx(x^2 + x) = 2x + 1.

Теперь подставим значения в формулу для f'(x):

f'(x) = ((x^2 + x) * 0 - 4 * (2x + 1)) / (x^2 + x)^2.

f'(x) = (-4(2x + 1)) / (x^2 + x)^2.

f'(x) = (-8x - 4) / (x^2 + x)^2.

Итак, производная функции f(x) равна: f'(x) = (-8x - 4) / (x^2 + x)^2.