Question

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения y'-xy=2x^3

Answer 1

ИСПОЛЬЗОВАН МЕТОД ЛАГРАНЖА.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'-xy=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{dy}{dx} =xy~~~\Rightarrow~~ \frac{dy}{y} =xdx~~~\Rightarrow~~~ \ln|y|= \frac{x^2}{2}+C$

$y=Ce^{\frac{x^2}{2} }$ - общее решение однородного уравнения

Примем  $C=C(x)$, тогда  $y=C(x)e^{\frac{x^2}{2} }$. По правилу дифференцирования произведения:  $y'=C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }$

Подставим данные в исходное уравнение:
  $C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }-xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }=2x^3\\ C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }=2x^3$
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$C(x)=\displaystyle \int 2x^3e^{-\frac{x^2}{2} }dx= \bigg\{u=x^2;~~ 2xdx=du\bigg\}= \frac{1}{2} \int ue^{- \frac{u}{2} }du=\\ \\ \\ = \frac{1}{2} \bigg(-2ue^{- \frac{u}{2} }+2\int e^{- \frac{u}{2} }du\bigg)=-2x^2e^{- \frac{x^2}{2} }-4e^{- \frac{x^2}{2} }+C_1$


Общее решение:     $y=\bigg(-2x^2e^{- \frac{x^2}{2} }-4e^{- \frac{x^2}{2} }+C_1\bigg)e^{ \frac{x^2}{2} }=C_1e^{ \frac{x^2}{2} }-2x^2-4$

Answer 2

Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения, можно воспользоваться методом вариации постоянной. Первым шагом нужно решить однородное уравнение, которое получается при приравнивании правой части к нулю:

y' - xy = 0

Для этого предположим, что y имеет вид:

y = e^(kx)

где k - некоторая константа, которую нужно найти. Тогда:

y' = ke^(kx)

Подставим это в однородное уравнение:

ke^(kx) - x e^(kx) = 0

Вынесем общий множитель e^(kx):

e^(kx) (k - x) = 0

Это уравнение будет равно нулю только тогда, когда (k - x) = 0, что дает нам:

k = x

Теперь, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения y' - xy = 2x^3, предположим, что неоднородное частное решение имеет вид:

y_p = Ax^4

где A - некоторая константа, которую нужно найти. Теперь найдем производные:

y'_p = 4Ax^3

Подставим это в неоднородное уравнение:

4Ax^3 - xAx^4 = 2x^3

Упростим:

4Ax^3 - Ax^5 = 2x^3

Теперь выразим A:

4A - Ax^2 = 2

A(4 - x^2) = 2

A = 2 / (4 - x^2)

Таким образом, мы нашли частное решение неоднородного уравнения y' - xy = 2x^3:

y_p = (2x^4) / (4 - x^2)

Чтобы получить полное частное решение, нужно сложить общее решение однородного уравнения (y_h) и частное решение неоднородного уравнения (y_p):

y = y_h + y_p = Ce^x + (2x^4) / (4 - x^2)

где C - произвольная постоянная.