Question

Помогите решить дифференциальное уравнение 1 порядка Желательно подробно и понятно 1. x*y' - 2*y = (x^3) * cos(x) 2. y' = 2*y + x 3. y' = (y/x) * (1 + ln(y/x)) Заранее спасибо)

Answer 1

Посмотрите решение для двух первых ДУ.

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое дифференциальное уравнение по порядку:

1. Уравнение: xy' - 2y = x^3 * cos(x)

Для начала, заметим, что это уравнение линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:

dy/dx + P(x)*y = Q(x)

где P(x) и Q(x) - некоторые функции.

В нашем уравнении, P(x) = -2 и Q(x) = x^3 * cos(x).

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель (функцию μ(x)), который приведет уравнение к точному дифференциальному уравнению.

Множитель μ(x) определяется из условия:

μ(x) = exp[∫P(x)dx]

где exp - это экспонента.

В нашем случае, P(x) = -2, поэтому интегрирующий множитель будет:

μ(x) = exp[∫(-2)dx] = exp(-2x)

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на найденный интегрирующий множитель:

exp(-2x) * (xy' - 2y) = exp(-2x) * (x^3 * cos(x))

Шаг 3: Применим правило производной произведения для левой стороны и решим уравнение:

x * exp(-2x) * y' - 2 * exp(-2x) * y = x^3 * exp(-2x) * cos(x)

Теперь у нас есть точное дифференциальное уравнение, так как левая часть представляет собой производную произведения функций (x * y) по x. Для решения точного дифференциального уравнения процедура следующая:

Шаг 1: Найдем функцию F(x, y) такую, что ее частные производные по x и y удовлетворяют уравнению:

∂F/∂x = x * exp(-2x) ∂F/∂y = -2 * exp(-2x)

Для первого уравнения:

∂F/∂x = ∫(x * exp(-2x))dx

Интегрируем по частям: ∫(x * exp(-2x))dx = -0.5 * x * exp(-2x) - ∫(-0.5 * exp(-2x))dx ∫(x * exp(-2x))dx = -0.5 * x * exp(-2x) + 0.5 * ∫(exp(-2x))dx ∫(x * exp(-2x))dx = -0.5 * x * exp(-2x) + 0.5 * (-0.5 * exp(-2x)) + C ∫(x * exp(-2x))dx = -0.5 * x * exp(-2x) - 0.25 * exp(-2x) + C

Для второго уравнения:

∂F/∂y = ∫(-2 * exp(-2x))dy ∂F/∂y = -2 * exp(-2x) * y + C

Шаг 2: Теперь найдем функцию F(x, y):

F(x, y) = ∫(∂F/∂x)dx + h(y) F(x, y) = ∫(-0.5 * x * exp(-2x) - 0.25 * exp(-2x) + C)dx + h(y) F(x, y) = -0.25 * x * exp(-2x) + 0.125 * exp(-2x) + C * x + h(y)

где h(y) - произвольная функция только от y.

Шаг 3: Найдем частное решение y_p(x):

y_p(x) = F(x, y)/x = (-0.25 * x * exp(-2x) + 0.125 * exp(-2x) + C * x + h(y)) / x

y_p(x) = -0.25 * exp(-2x) + 0.125 * exp(-2x)/x + C + h(y)/x

Шаг 4: Найдем общее решение:

Общее решение уравнения имеет вид y(x) = y_p(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Итак, окончательное решение:

y(x) = -0.25 * exp(-2x) + 0.125 * exp(-2x)/x + C + h(y)/x

Это общее решение дифференциального уравнения. Если дано начальное условие (например, y(x_0) = y_0), вы можете использовать его, чтобы найти конкретное значение постоянной C и получить частное решение.