Question

Доказать тождество (sin^2a-cos^2a)^2+2cos^2a*sin^2a=sin^4a+cos^4a

Answer 1

$(sin^2a-cos^2a)^2+2\cdot cos^2a\cdot sin^2x=\\\\=[\; (A-B)^2=A^2-2AB+B^2\; ]=\\\\=sin^4a-\underline {2\cdot sin^2a\cdot cos^2a}+cos^4a+\underline {2\cdot cos^2a\cdot sin^2a}=\\\\=sin^4a+cos^4a$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны уравнения и постепенно преобразуем его, используя тригонометрические тождества:

Левая сторона: (sin^2a - cos^2a)^2 + 2cos^2a * sin^2a

1. Раскроем квадрат: (sin^2a - cos^2a)^2 = sin^4a - 2sin^2a * cos^2a + cos^4a

2. Теперь добавим 2cos^2a * sin^2a: sin^4a - 2sin^2a * cos^2a + cos^4a + 2cos^2a * sin^2a

3. Перегруппируем слагаемые: sin^4a + cos^4a - 2sin^2a * cos^2a + 2cos^2a * sin^2a

4. Факторизуем общий множитель: sin^4a + cos^4a - 2sin^2a * cos^2a + 2sin^2a * cos^2a

5. Замечаем, что -2sin^2a * cos^2a + 2sin^2a * cos^2a = 0:

sin^4a + cos^4a + 0

6. Итак, получаем: sin^4a + cos^4a

Правая сторона: sin^4a + cos^4a

Таким образом, мы видим, что левая сторона уравнения равна правой стороне, и тождество доказано:

(sin^2a - cos^2a)^2 + 2cos^2a * sin^2a = sin^4a + cos^4a.