Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^2/(x^2−16) и точки экстремума.

Answer 1

Заданную функцию y = x^2/(x^2−16) представим в виде:
y = x^2/((x-4)(х+4)).
Отсюда видим, что функция имеет 2 точки разрыва: х = 4 и = -4.
То есть, область определения функции разбита на 3 промежутка:
(-∞; -4), (-4; 4) и (4; +∞).
Производная функции равна y' = -32x/((x^2-16)^2).

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. 

Нулю производная равна при х = 0.
У производной 4 промежутка.
На промежутках находят знаки производной . Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Значения производной и её знаки  приводим в таблице.
x =      -5     -4          -2         0           2            4              5
y' = 1,975     -       0,444       0     -0,444          -          -1,975.
Функция возрастает на промежутках (-∞; -4) и(-4; 0).
                   убывает на промежутках (0; 4) и(4; ∞).
Максимум один -  в точке х = 0, у = 0.

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции, исключив возможные деления на ноль и значения, которые делают знаменатель равным нулю.

2. Найти производную функции.

3. Решить уравнение производной для определения критических точек.

4. Проверить знак производной в каждом интервале между критическими точками, чтобы определить возрастание и убывание функции.

5. Найти точки экстремума, если они есть, проверив значения функции в критических точках.

6. Область определения: Для функции $y = \frac{x^2}{x^2 - 16}$ необходимо исключить значения, при которых знаменатель равен нулю, так как это приведет к неопределенности деления на ноль. Таким образом, нужно решить уравнение $x^2 - 16 = 0$:

$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$

Область определения функции: $(- \infty, -4) \cup (-4, 4) \cup (4, +\infty)$

2. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = \frac{x^2}{x^2 - 16}$

Используем правило дифференцирования частного функций:

$y' = \frac{(x^2 - 16) \cdot 2x - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 16)^2}$
$y' = \frac{2x^3 - 32x}{(x^2 - 16)^2}$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$2x^3 - 32x = 0$
$2x(x^2 - 16) = 0$
$2x(x - 4)(x + 4) = 0$

Таким образом, $x = 0, x = -4$ и $x = 4$ являются критическими точками.

4. Проверим знак производной $y'$ в каждом интервале между критическими точками и за пределами области определения:

Проверка знака производной:

• Для $x < -4$, возьмем $x = -5$:
  $y' = \frac{2(-5)^3 - 32(-5)}{((-5)^2 - 16)^2} = \frac{-250}{81} < 0$

• Для $-4 < x < 0$, возьмем $x = -1$:
  $y' = \frac{2(-1)^3 - 32(-1)}{((-1)^2 - 16)^2} = \frac{30}{289} > 0$

• Для $0 < x < 4$, возьмем $x = 1$:
  $y' = \frac{2(1)^3 - 32(1)}{((1)^2 - 16)^2} = \frac{-30}{289} < 0$

• Для $x > 4$, возьмем $x = 5$:
  $y' = \frac{2(5)^3 - 32(5)}{((5)^2 - 16)^2} = \frac{250}{81} > 0$

5. Найдем значения функции $y$ в критических точках:

• При $x = 0$, $y = \frac{0^2}{0^2 - 16} = 0$