Question

На какую наибольшую степень двойки делится число

Answer 1

Для начала воспользуемся тем, что 10 = 2 * 5:
$10^{10}-2^{10}=(2\cdot5)^{10}-2^{10}=2^{10}\cdot5^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1)$

Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
$5^{10}-1=(5^5)^2-1=(5^5-1)(5^5+1)$

Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа $5^5$ на 8.

$5^2=25$ дает остаток 1 при делении на 8, тогда  $5^4=(5^2)^2$ тоже дает остаток 1 при делении на 8, а  $5^5$ дает остаток 5 при делении на 8, откуда  $5^5=8n+5$ при некотором натуральном n.

Значит,  $5^n-1=8n+4=4(2n+1)$ делится на 4 и не делится на 8, а  $5^n+1=8n+6=2(4n+3)$ делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение  $10^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1)(5^{10}+1)$, есть  $2^{10}\cdot4\cdot2=2^{13}$

Answer 2

Если число оканчивается на ноль, то оно делится на 2^1 = 2. Но давайте уточним, насколько большую степень двойки делится это число.

Для определения максимальной степени двойки, на которую делится число, необходимо найти максимальное значение экспоненты (степени), при которой 2 в этой степени является делителем данного числа.

Проще всего найти эту степень, разделив число на 2 до тех пор, пока результат деления не станет нечетным.

Например, для числа 40: 40 ÷ 2 = 20 20 ÷ 2 = 10 10 ÷ 2 = 5 (нечетное число)

Таким образом, 40 делится на 2^3 = 8 (максимальную степень двойки, на которую делится это число).