Question

Вычислить неопределенный интеграл а) ∫ dx/(1+x²)⁵ б) ∫(x+5)e^2x dx

Answer 1

Решение смотри в вложении ниже

Answer 2

а) Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫ dx/(1+x²)⁵, выполним замену переменной. Положим u = 1 + x², тогда du/dx = 2x. Теперь заменим dx на du/2x:

∫ dx/(1+x²)⁵ = ∫ du/(2x * u⁵).

Теперь разделим числитель и знаменатель на 2:

∫ dx/(1+x²)⁵ = (1/2) * ∫ du/(x * u⁵).

Теперь разделим дробь на две части:

∫ dx/(1+x²)⁵ = (1/2) * ∫ du/u⁵ - (1/2) * ∫ du/(x * u⁵).

Вычислим каждую из частей:

∫ du/u⁵ = -1/4u⁴ + C₁,

∫ du/(x * u⁵) = -1/(4x * u⁴) + C₂.

Где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Теперь вернемся к исходной переменной:

∫ dx/(1+x²)⁵ = (1/2) * (-1/4u⁴ + C₁) - (1/2) * (-1/(4x * u⁴) + C₂).

И, наконец, подставим u = 1 + x²:

∫ dx/(1+x²)⁵ = (1/2) * (-1/4(1+x²)⁴ + C₁) - (1/2) * (-1/(4x * (1+x²)⁴) + C₂).

б) Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫(x+5)e^2x dx, воспользуемся методом интегрирования по частям, который гласит:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это дифференцируемые функции.

Пусть u = (x + 5) и dv = e^2x dx.

Тогда du = dx и v = ∫ dv = ∫ e^2x dx.

Интегрируем v:

∫ e^2x dx = (1/2)e^2x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь применим метод интегрирования по частям:

∫(x + 5)e^2x dx = uv - ∫ v du

∫(x + 5)e^2x dx = (x + 5)(1/2)e^2x - ∫ (1/2)e^2x dx

∫(x + 5)e^2x dx = (1/2)(x + 5)e^2x - (1/2)∫ e^2x dx

∫(x + 5)e^2x dx = (1/2)(x + 5)e^2x - (1/2)((1/2)e^2x + C) + C₁

∫(x + 5)e^2x dx = (1/2)(x + 5)e^2x - (1/4)e^2x - C/2 + C₁,

где C₁ - ещё одна произвольная постоянная.

Таким образом, окончательный результат:

∫(x + 5)e^2x dx = (1/2)(x + 5)e^2x - (1/4)e^2x - C/2 + C₁.