Question

Найдите, различные натуральные числа m и n такие, что 1÷m+1÷n=1÷13

Answer 1

1/m + 1/n = 1/13

Домножаем на 13mn:
13n + 13m = mn
mn - 13m - 13n = 0
mn - 13m - 13n + 169 = 169
m(n - 13) - 13(n - 13) = 169
(m - 13)(n - 13) = 169

169 можно разложить на множители следующими способами: 169 = (-1) * (-169) = (-13) * (-13) = 169 * 1 = 13 * 13

Пусть m > n, тогда возможны такие варианты:
1) m - 13 = -1, n - 13 = -169 – не подходит, n < 0
2) m - 13 = n - 13 = -13 – не подходит, m = n
3) m - 13 = 169, n - 13 = 1 – (m, n) = (182, 14)
4) m - 13 = n - 13 = 13 – не подходит, m = n

Итак, m = 182, n = 14 или m = 14, n = 182

Answer 2

Для нахождения различных натуральных чисел m и n, удовлетворяющих уравнению 1/m + 1/n = 1/13, можно воспользоваться методом подбора или алгебраическими преобразованиями.

Один из способов решения - это приведение уравнения к общему знаменателю:

1/m + 1/n = 1/13

Умножим обе части уравнения на 13mn (общий знаменатель):

13mn * (1/m) + 13mn * (1/n) = 13mn * (1/13)

Теперь упростим выражение:

13n + 13m = mn

Теперь, пробуем различные значения m и n, чтобы найти решение:

Пусть, например, m = 14, тогда:

13n + 13 * 14 = 14n

13n + 182 = 14n

182 = 14n - 13n

182 = n

Таким образом, одной из пар различных натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению, является m = 14 и n = 182.

Теперь, давайте найдем другие пары чисел. Для этого просто возьмем другие значения для m и найдем соответствующие значения для n:

Пусть, например, m = 15:

13n + 13 * 15 = 15n

13n + 195 = 15n

195 = 15n - 13n

195 = 2n

n = 195/2 = 97.5

Но мы ищем натуральные числа, поэтому пара m = 15 и n = 97 не подходит.

Попробуем еще одну пару:

Пусть m = 16:

13n + 13 * 16 = 16n

13n + 208 = 16n

208 = 16n - 13n

208 = 3n

n = 208/3 ≈ 69.33

Также не подходит, так как мы ищем натуральные числа.

Продолжая аналогично, мы обнаружим, что парой различных натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению, являются m = 14 и n = 182.