Question

Log(2x+3)x^2<1 Решить неравенство

Answer 1

Надеюсь я правильно понял запись...

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны сначала выразить его в более простой и понятной форме. Начнем с этого.

1. Неравенство: $\log(2x + 3)x^2 < 1$

Для начала, обратим внимание, что логарифм $\log(2x + 3)$ имеет смысл только при условии $2x + 3 > 0$, чтобы аргумент логарифма был положительным числом. Следовательно, выражение $2x + 3 > 0$ должно выполняться.

Далее, чтобы избавиться от логарифма, воспользуемся свойством логарифма: $\log_a(b) < c$ равносильно $b < a^c$, при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$.

2. Исключаем логарифм: $x^2 < (2x + 3)^1$

3. Упрощаем правую сторону: $x^2 < 2x + 3$

Теперь давайте решим квадратное уравнение:

4. Переносим все в левую часть: $x^2 - 2x - 3 < 0$

5. Факторизуем или используем квадратное уравнение, чтобы найти корни: $x^2 - 2x - 3 = 0$

Для факторизации, мы ищем два числа, которые умножаются на $-3$ и дают $-2$ в сумме. Эти числа это $-3$ и $1$.

Таким образом, $(x - 3)(x + 1) < 0$

Теперь определяем знак на интервалах между корнями квадратного уравнения:

6. Корни квадратного уравнения: $x = 3$ и $x = -1$

Таким образом, неравенство будет выполнено на трех интервалах:

I. $x < -1$ II. $-1 < x < 3$ III. $x > 3$

Проверим знак на каждом из этих интервалов, используя тестовую точку в каждом интервале:

I. $x < -1$ Пусть $x = -2$: $(x - 3)(x + 1) = (-2 - 3)(-2 + 1) = (-5)(-1) = 5 > 0$ - неверно

II. $-1 < x < 3$ Пусть $x = 0$: $(x - 3)(x + 1) = (0 - 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3 < 0$ - верно

III. $x > 3$ Пусть $x = 4$: $(x - 3)(x + 1) = (4 - 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5 > 0$ - неверно

Таким образом, удовлетворяющим неравенству является интервал $-1 < x < 3$.

Ответ: $-1 < x < 3$.