Question

Решите, пожалуйста, интеграл ∫√(x²+1)dx

Answer 1

$\int\sqrt{x^2+1}dx=x\sqrt{x^2+1}-\int\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}-\int\sqrt{x^2+1}dx+\\+\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\\2\int\sqrt{x^2+1}dx=x\sqrt{x^2+1}+ln|x+\sqrt{x^2+1}|\\\int\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1}+ln|x+\sqrt{x^2+1}|)+C\\\\\\u=\sqrt{x^2+1};du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\\dv=dx;v=x$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки. Обозначим:

u = x² + 1

Тогда дифференциал dx можно представить как:

du = 2x dx

Отсюда dx = du / (2x)

Теперь заменим переменные в исходном интеграле:

∫√(x² + 1) dx = ∫√u * (du / (2x))

Обратите внимание, что теперь в интеграле осталась только переменная u, а вместо dx мы получили выражение через du и x. Мы можем переписать интеграл в виде:

∫√u * (du / (2x)) = ∫√u * (1 / (2x)) du

Теперь разделим наш интеграл на две части:

∫√u * (1 / (2x)) du = (1/2) * ∫u^0.5 * u^(-0.5) du

∫√u * (1 / (2x)) du = (1/2) * ∫du

∫√u * (1 / (2x)) du = (1/2) * u + C

Теперь вернемся к исходной переменной x, заменим обратно u на x² + 1 и добавим константу C:

∫√(x² + 1) dx = (1/2) * (x² + 1) + C

Таким образом, окончательное решение интеграла:

∫√(x² + 1) dx = (1/2) * (x² + 1) + C, где C - произвольная постоянная.