Question

Исследовать на выпуклость функцию y(x)=2x^3-3x^2-12x

Answer 1

Исследовать на выпуклость функцию
y(x)=2x³ -3x² - 12x

Решение                                                                                                               Находим первую производную функции
 y' = (2x³ -3x² - 12x)' = (2x³)' -(3x²)' - (12x)' = 6x² - 6x - 12
Находим вторую производную функции
y" =(6x² - 6x - 1)' = (6x²)' - (6x)' - 12' = 12x - 6
Находим критические точки приравняв вторую производную к нулю                            y" = 0 ⇔ 12x - 6 = 0
                                             x = 0,5                                                                                 Отобразим на числовой прямой эту точку и найдем знаки второй производной по методу подстановки. Например при х=0 12х-6 = -6<0  
            -            0         +
    ------------------!-----------------                                                                                                           0,5
Вторая производная отрицательна и функция выпукла вверх
 при x∈(-∞ ; 0,5);
Вторая производная положительна и функция вогнута(выпукла) вниз
 при x∈(0,5 ; +∞).
В точке х=0,5   y=-6,5 функция имеет точку перегиба.                                         График функции во вложении

Answer 2

Для исследования на выпуклость функции y(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдите первую и вторую производные функции y(x). Шаг 2: Найдите точки, в которых первая производная равна нулю (критические точки). Шаг 3: Определите интервалы возрастания и убывания функции. Шаг 4: Определите интервалы, где выпуклость функции положительна и отрицательна.

Шаг 1: Найдите первую и вторую производные функции y(x).

Первая производная (y'(x)): y'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x) y'(x) = 6x^2 - 6x - 12

Вторая производная (y''(x)): y''(x) = d/dx (6x^2 - 6x - 12) y''(x) = 12x - 6

Шаг 2: Найдите точки, в которых первая производная равна нулю (критические точки).

Чтобы найти критические точки, решим уравнение y'(x) = 0: 6x^2 - 6x - 12 = 0

Разделим уравнение на 6 для упрощения: x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: x = (1 ± √(1 + 412)) / 2 x = (1 ± √9) / 2 x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем две критические точки: x₁ = (1 + 3) / 2 = 2 x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

Шаг 3: Определите интервалы возрастания и убывания функции.

Для этого используем таблицу знаков производной:

Copy code
 x       |   -∞   |   -1   |   2   |   +∞

---

y'(x) | - | + | - | + y(x) | убыв. | возр. | убыв. | возр.

Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞) и возрастает на интервале (-1, 2).

Шаг 4: Определите интервалы, где выпуклость функции положительна и отрицательна.

Для этого используем таблицу знаков второй производной:

Copy code
 x       |   -∞   |   -1   |   2   |   +∞

---

y''(x) | - | + | + | + y(x) | вогнута|вогнута |выпукла|выпукла

Таким образом, функция выпукла вниз на интервале (-∞, -1) и выпукла вверх на интервале (-1, 2).

Вот исследование на выпуклость функции y(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x:

1. Критические точки: x₁ = 2 и x₂ = -1.
2. Интервалы возрастания: (-1, 2).
3. Интервалы убывания: (-∞, -1) и (2, +∞).
4. Интервалы выпуклости вверх: (-1, 2).
5. Интервалы выпуклости вниз: (-∞, -1) и (2, +∞).