Question

А) Исследовать функцию: у = x^3+ 6x^2 - 96x - 207 на монотонность. б) Исследовать функцию: у = x^4 - 8x^3 + 49x +23 на выпуклость.​

Answer 1

Ответ:

а) найдем производную ф-ии:

y' = 3x^2 + 12x - 96

Решим неравенство y' < 0

3x^2 + 12x - 96 < 0

...

-8 < x < 4

Значит, на интервале (-8, 4) ф-ия монотонно убывает, а на (-inf, -8)∪(4, inf) ф-ия монотонно возрастает

б) найдем вторую производную ф-ии:

y'' = (4x^3 - 24x^2+49)' = 12x^2 - 48x

Решим неравенство y''<0:

12x^2 - 48x < 0

...

0 < x < 4

Значит, на интервале (0, 4) ф-я выпукла вниз (типа вот так идет ∩), а на интервале (-inf, 0)∪(4, inf) ф-я выпукла вверх(∪)

Answer 2

Исследование функции на монотонность

Для исследования функции у = x^3 + 6x^2 - 96x - 207 на монотонность, мы должны найти ее производную и выяснить знаки производной в различных интервалах.

1. Нахождение производной функции - Производная функции у = x^3 + 6x^2 - 96x - 207 равна: ``` у' = 3x^2 + 12x - 96 ```

2. Нахождение критических точек - Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и найдем значения x: ``` 3x^2 + 12x - 96 = 0 ```

- Решив это уравнение, мы найдем критические точки.

3. Исследование знаков производной - После нахождения критических точек, мы можем использовать тестовые точки в каждом интервале, чтобы определить знак производной и, следовательно, монотонность функции.

Исследование функции на выпуклость

Теперь рассмотрим функцию у = x^4 - 8x^3 + 49x + 23 и проведем исследование на выпуклость.

1. Нахождение второй производной функции - Вторая производная функции у = x^4 - 8x^3 + 49x + 23 равна: ``` у'' = 12x^2 - 24x ```

2. Нахождение точек перегиба - Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и найдем значения x: ``` 12x^2 - 24x = 0 ```

- Решив это уравнение, мы найдем точки перегиба.

3. Исследование знаков второй производной - После нахождения точек перегиба, мы можем использовать тестовые точки в каждом интервале, чтобы определить знак второй производной и, следовательно, выпуклость функции.

Обратите внимание: Для полного исследования монотонности и выпуклости функций требуется провести дополнительные вычисления, которые могут быть сложными без конкретных числовых значений.