Question

Разложить на множители: x^2y^2 – x^2 + 4xy – y^2 + 1

Answer 1

x^2y^2 – x^2 + 4xy – y^2 + 1=(xy+1)²-(x-y)²=(xy+1+x-y)(xy+1-x+y)

Answer 2

Чтобы разложить выражение на множители, давайте рассмотрим его внимательно:

x^2y^2 – x^2 + 4xy – y^2 + 1

Это выражение похоже на квадрат бинома, которое можно представить в следующем виде:

(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^2

Давайте попробуем применить эту формулу к нашему выражению. Первые два и последние два члена похожи на квадраты. Попробуем сгруппировать их:

(x^2y^2 – x^2) + (4xy – y^2) + 1

Теперь давайте посмотрим на первые два члена: x^2y^2 – x^2. Мы можем выделить общий множитель x^2:

x^2(y^2 – 1)

Затем посмотрим на последние два члена: 4xy – y^2. Мы можем выделить общий множитель -y:

-y(y - 4x)

Теперь наше выражение выглядит следующим образом:

x^2(y^2 – 1) + (-y)(y - 4x) + 1

Обратите внимание, что y^2 – 1 - это разность квадратов, которую можно разложить дальше:

y^2 – 1 = (y + 1)(y - 1)

Теперь наше выражение примет следующий вид:

x^2(y + 1)(y - 1) - y(y - 4x) + 1

Теперь обратим внимание на второе и третье слагаемое: -y(y - 4x). Можем выделить общий множитель -y:

-y(y - 4x) = -y^2 + 4xy

Теперь наше выражение будет выглядеть так:

x^2(y + 1)(y - 1) - y^2 + 4xy + 1

Таким образом, разложенное выражение на множители:

x^2(y + 1)(y - 1) - y^2 + 4xy + 1