Question

1) Найдите значение k, при котором прямая y=kx+5 проходит через центр окружности x^2+8x+y^2+6y=4 2) Вычислите cos4a если tgA= -корень из 5

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

1. Чтобы найти значение k, при котором прямая y = kx + 5 проходит через центр окружности, нужно подставить координаты центра окружности в уравнение прямой и решить уравнение относительно k.

Уравнение окружности задано как x^2 + 8x + y^2 + 6y = 4.

Для начала найдем координаты центра окружности. Уравнение окружности можно представить в форме (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности.

Для нашего случая: x^2 + 8x + y^2 + 6y = 4 Перенесем константу 4 на другую сторону: x^2 + 8x + y^2 + 6y - 4 = 0

Чтобы завершить квадрат, добавим недостающие константы: (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 16 - 9 = 0 (x + 4)^2 + (y + 3)^2 - 29 = 0

Теперь видно, что центр окружности находится в точке (-4, -3).

Подставим координаты центра в уравнение прямой: -3 = k(-4) + 5

Теперь решим уравнение относительно k: -3 = -4k + 5 -3 - 5 = -4k -8 = -4k k = -8 / -4 k = 2

Таким образом, значение k равно 2.

2. Дано tgA = -корень из 5.

Для нахождения cos(4a) воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1

Теперь заменим a на 2a: cos(4a) = 2 * cos^2(2a) - 1

Нам нужно найти cos(4a), и у нас есть tg(a). Мы можем использовать тригонометрическую связь между tg(a) и cos(a), чтобы найти cos(a).

tg(a) = -корень из 5

Мы знаем, что tg(a) = sin(a) / cos(a).

Поэтому, можно записать: -kорень из 5 = sin(a) / cos(a)

Возведем обе стороны в квадрат: 5 = sin^2(a) / cos^2(a)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1: 5 = (1 - cos^2(a)) / cos^2(a)

Перенесем cos^2(a) на одну сторону: 5cos^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь найдем cos^2(a): 6cos^2(a) = 1

cos^2(a) = 1 / 6

Теперь найдем cos(a): cos(a) = ± √(1 / 6)

Так как у нас tg(a) < 0, это означает, что a лежит во второй или четвертой четверти, где cos(a) < 0. Поэтому: cos(a) = - √(1 / 6)

Теперь, зная значение cos(a), можем найти cos(2a): cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1 cos(2a) = 2 * (- √(1 / 6))^2 - 1 cos(2a) = 2 * (1 / 6) - 1 cos(2a) = 2/6 - 1 cos(2a) = -4/6 cos(2a) = -2/3

Наконец, найдем cos(4a) через cos(2a): cos(4a) = 2 * cos^2(2a) - 1 cos(4a) = 2 * (-2/3)^2 - 1 cos(4a) = 2 * (4/9) - 1 cos(4a) = 8/9 - 1 cos(4a) = (8 - 9) / 9 cos(4a) = -1/9

Таким образом, cos(4a) равен -1/9.