Question

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии если: b(3)=5/8 ; b(5)=5/32

Answer 1

B3 = b1 * q² = 5/8
b5 = b1 * q⁴ = 5/32

Составим систему из этих двух уравнений.
b1 * q² = 5/8
b1 * q⁴ = 5/32

Поделим второе уравнение на первое:
b1q⁴/b1q² = 5/32 : 5/8
q² = 1/4
q = ±1/2

Если q = ±1/2, то b1*q² = b1*(±1/2) = b1/4 = 5/8, откуда b1 = 5/2

Ответ: b1 = 5/2, q = ±1/2

Answer 2

B5=b1*q^4=5/32
b3=b1*q^2=5/8


b5=b1*q^2*q^2 

5/32=5/8 * q^2
5/32 *8/5 = q^2
q=1/2
q=-1/2

b3=b1*q^2
5/8= b1* 1/4
b1=5/8*4 = 5/2 =2,5

Answer 3

Для геометрической прогрессии (ГП) общий член имеет вид:

$b(n) = a \cdot r^{(n-1)}$

где $b(n)$ - n-й член прогрессии, $a$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что $b(3) = \frac{5}{8}$ и $b(5) = \frac{5}{32}$.

Давайте воспользуемся этими данными, чтобы найти $a$ и $r$:

1. Для $b(3)$: $b(3) = a \cdot r^{(3-1)} = a \cdot r^2 = \frac{5}{8}$

2. Для $b(5)$: $b(5) = a \cdot r^{(5-1)} = a \cdot r^4 = \frac{5}{32}$

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными $a$ и $r$:

$$\begin{cases} a \cdot r^2 = \frac{5}{8} \\ a \cdot r^4 = \frac{5}{32} \end{cases}$$

Для решения этой системы уравнений давайте разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{5}{8}}$$

$$r^2 = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{5}{8}}$$

$$r^2 = \frac{1}{4}$$

Теперь найдем значение $r$:

$r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь, когда у нас есть значение $r$, давайте найдем значение $a$. Подставим найденное $r$ в первое уравнение:

$a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{8}$

$a \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{5}{8} \cdot 4 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

Итак, первый член $a = \frac{5}{2}$, а знаменатель $r = \frac{1}{2}$. Таким образом, геометрическая прогрессия имеет вид:

$\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{16}, \ldots$