Question

Найдите наибольшее значение y=ln(17x)-17x+17 на промежутке [1/34;5/34]

Answer 1

Промежутки возрастания и убывания функций находятся через производную.

$y'=(ln17x-17x+17)'=\frac{1}{17x}*17-17= \frac{1}{x}-17$

у'=0 - экстремум функции

1/х-17=0

1/х=17

х=1/17

_______+_______1/17________-________

Значит х=1/17 точка максимума функции.

1/34<1/17<5/34 значит точка максимума принадлежит отрезку

у(17)=ln(17*1/17)-17*1/17+17=0-1+17=16

Ответ наибольшее значение функции у=16

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y на заданном промежутке [1/34; 5/34], нужно следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x.
2. Найдите критические точки функции, которые соответствуют точкам, где производная равна нулю или не существует.
3. Проверьте значения функции y в критических точках и на концах заданного промежутка.
4. Найдите максимальное значение функции на указанном промежутке.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x. y = ln(17x) - 17x + 17 y' = d/dx[ln(17x)] - d/dx[17x] + d/dx[17]

Для вычисления производной ln(17x) используем правило дифференцирования сложной функции: d/dx[ln(u)] = (1/u) * du/dx. Таким образом, d/dx[ln(17x)] = (1/(17x)) * d/dx[17x] = 1/x.

Поскольку d/dx[17x] = 17, а d/dx[17] = 0 (константа), производная функции y становится: y' = 1/x - 17.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 1/x - 17 = 0

Решим уравнение: 1/x = 17 x = 1/17

Шаг 3: Найдем значения функции y в критической точке и на концах заданного промежутка.

a) Значение функции y в критической точке (x = 1/17): y = ln(17x) - 17x + 17 y(1/17) = ln(17 * 1/17) - 17 * 1/17 + 17 y(1/17) = ln(1) - 1 + 17 y(1/17) = 17.

b) Значение функции y в левом конце промежутка (x = 1/34): y = ln(17x) - 17x + 17 y(1/34) = ln(17 * 1/34) - 17 * 1/34 + 17 y(1/34) = ln(1/2) - 1/2 + 17 y(1/34) ≈ 17.1935.

c) Значение функции y в правом конце промежутка (x = 5/34): y = ln(17x) - 17x + 17 y(5/34) = ln(17 * 5/34) - 17 * 5/34 + 17 y(5/34) = ln(5/2) - 5/2 + 17 y(5/34) ≈ 15.8903.

Шаг 4: Найдем наибольшее значение функции на указанном промежутке. Наибольшее значение функции y на промежутке [1/34; 5/34] равно 17 (приближенно 17.1935 и 15.8903 не превышают 17).

Итак, максимальное значение функции y=ln(17x)-17x+17 на промежутке [1/34;5/34] равно 17.