Question

Помогите пожалуйста, прошу Найдите наибольшее значение функции y = 40/(2^x + 3^x) на отрезке [1;7].

Answer 1

Ответ: наибольшее значение функции можно найти из графика это x=1, ответ: y=8

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 40/(2^x + 3^x) на отрезке [1;7], нужно проанализировать функцию на этом интервале.

1. Начнем с вычисления значения функции на границах интервала: При x = 1: y = 40 / (2^1 + 3^1) = 40 / (2 + 3) = 40 / 5 = 8. При x = 7: y = 40 / (2^7 + 3^7) ≈ 40 / (128 + 2187) ≈ 40 / 2315 ≈ 0.01728.

2. Теперь посмотрим на производную функции, чтобы найти точки экстремума (максимумов и минимумов): y = 40 / (2^x + 3^x) Чтобы найти производную, воспользуемся правилом дифференцирования частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2. В нашем случае u = 40, v = (2^x + 3^x): y' = (40 * (2^x + 3^x)' - 40' * (2^x + 3^x)) / (2^x + 3^x)^2.

   Теперь найдем производные компонентов: (2^x)' = 2^x * ln(2) (по правилу дифференцирования степенной функции) (3^x)' = 3^x * ln(3) (по правилу дифференцирования степенной функции) 40' = 0 (константа)

   Подставим значения в выражение для y': y' = (40 * (2^x * ln(2) + 3^x * ln(3)) - 0 * (2^x + 3^x)) / (2^x + 3^x)^2 y' = (40 * (2^x * ln(2) + 3^x * ln(3))) / (2^x + 3^x)^2.

3. Найдем критические точки, где производная равна нулю: y' = 0 (40 * (2^x * ln(2) + 3^x * ln(3))) / (2^x + 3^x)^2 = 0.

   Так как числитель не может быть равен нулю (поскольку ln(2) и ln(3) не равны нулю), это уравнение не имеет решений. Это значит, что на отрезке [1;7] функция y = 40/(2^x + 3^x) не имеет критических точек.

4. Осталось проверить значение функции в концах отрезка и сравнить с полученными результатами: y(1) = 8 y(7) ≈ 0.01728

   На данном отрезке максимум функции достигается в точке x = 1 и равен y = 8.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 40/(2^x + 3^x) на отрезке [1;7] равно 8.