Question

Укажите первообразную функции f(x)=1/x на промежутке (0;+∞), график которой проходит через точку M(e^2;-1)

Answer 1

F(x)=∫1/xdx=(ln/x/)+c
-1=lne²+c
c=-1-lne²=-1-2=-3

F(x)=(ln/x/)-3

на промежутке(0;+∞)
F(x)=(lnx)-3

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$ и проходящей через точку $M(e^2, -1)$, мы будем искать функцию $F(x)$ такую, что $F'(x) = \frac{1}{x}$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом интегрирования. Интегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{x} \, dx = \int d(\ln x) = \ln x + C$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно определить значение постоянной $C$ для того, чтобы функция проходила через точку $M(e^2, -1)$.

Подставим координаты точки $M$ в $F(x)$:

$F(e^2) = \ln(e^2) + C = 2 + C$

Условие прохождения через точку $M$ гласит, что $F(e^2) = -1$. Поэтому:

$2 + C = -1$

Отсюда находим значение постоянной $C$:

$C = -3$

Таким образом, первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$, проходящей через точку $M(e^2, -1)$, является:

$F(x) = \ln x - 3$