Question

Помогите найти частную производную выражения x*ln(y/x) если не сложно,распишите подробно как что получилось

Answer 1

Решение приведено ниже, для частных производных используют такие же правила, что и для производной

Answer 2

Хорошо, давайте найдем частную производную выражения x*ln(y/x) по переменной x.

Для того чтобы найти частную производную по x, мы должны рассматривать все переменные, кроме x, как постоянные. При этом правило дифференцирования произведения функций гласит:

d(uv)/dx = u(dv/dx) + v*(du/dx),

где u и v являются функциями от x, а du/dx и dv/dx - их производные по x.

Итак, в нашем случае, у нас есть функция u = x и функция v = ln(y/x). Тогда:

1. Найдем производную v*(du/dx) по x: dv/dx = d[ln(y/x)]/dx.

   Для этого воспользуемся формулой производной логарифма: d[ln(u)]/dx = (1/u)*(du/dx).

   В нашем случае, u = y/x: dv/dx = (1/(y/x)) * d(y/x)/dx = (1/(y/x)) * (d(y)/dx - d(x)/dx) = (1/(y/x)) * (0 - 1) [поскольку y - это константа, а производная по x от x равна 1] = -x/y.

2. Теперь найдем производную u*(dv/dx) по x: du/dx = d[x]/dx = 1.

   Теперь умножим на v*(dv/dx): x * (-x/y) = -(x^2)/y.

Таким образом, частная производная выражения x*ln(y/x) по переменной x равна: -(x^2)/y.