Question

А) Решите уравнение. 2sin(2x+п/3)-3cosx=sin2x - корень 3 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4п ; - 5п/2]

Answer 1

2sin(2x+(π/3))=2·(sin2x·cos(π/3)+cos2x·sin(π/3))=2·((1/2)sin2x + (√3/2)·cos2x)=sin2x+√3cos2xУравнение примет вид:
sin2x+√3cos2x-3cosx=sinx2x-√3
или
√3cos2x-3cosx= -√3
√3cosx-(2cos²x-1)=1
√3cosx-2cos²x=0
cosx·(√3-2cosx)=0

cosx=0   ⇒ x= (π/2)+πn, n ∈ Z
или
cosx=√3/2⇒ x=±(π/6)+2πk,   k∈Z
О т в е т. πn,    (π/2)+πn ,   ±(π/6)+2πk,  n,  k∈Z 
Отрезку [-4π; -5π/2] принадлежат корни:-5π/2;-7π/2 (π/6)-4π=-23π/6

Answer 2

Для решения уравнения (а) воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразуем уравнение: 2sin(2x + π/3) - 3cosx = sin2x - √3

2. Распишем sin(2x) по формуле двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

3. Подставим sin(2x) в уравнение: 2sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(π/3) - 3cos(x) = 2sin(x)cos(x) - √3

4. Сгруппируем слагаемые с sin(x) и cos(x): 2sin(x)cos(x) - 3cos(x) - 2sin(x)cos(x) = -√3 - 2sin(x)cos(π/3)

5. Упростим: -3cos(x) = -√3 - 2sin(x)cos(π/3)

6. Теперь заменим cos(π/3) и sin(π/3) значениями: cos(π/3) = 1/2 sin(π/3) = √3/2

7. Подставим значения и продолжим упрощение: -3cos(x) = -√3 - 2sin(x) * 1/2 -3cos(x) = -√3 - sin(x)

8. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: -3cos(x) + cos(x) = -√3 - sin(x) + sin(x) -2cos(x) = -√3

9. Разделим обе части на -2: cos(x) = √3/2

10. Найдем угол x с таким косинусом на интервале [0, 2π]: x = π/6 и x = 11π/6

Проверим решение, подставив x обратно в исходное уравнение:

2sin(2(π/6) + π/3) - 3cos(π/6) = sin(2(π/6)) - √3 2sin(π/3 + π/3) - 3cos(π/6) = sin(π/3) - √3 2sin(2π/3) - 3cos(π/6) = √3/2 - √3 2√3/2 - 3cos(π/6) = √3/2 - √3 √3 - 3cos(π/6) = √3/2 - √3 √3 - 3(√3/2) = √3/2 - √3 √3 - 3√3/2 = √3/2 - √3 √3 - √3 = √3/2 - √3 0 = 0

Уравнение верно для x = π/6.

Аналогично, для x = 11π/6, уравнение также верно.

Таким образом, корни уравнения (а) равны x = π/6 и x = 11π/6.

Теперь перейдем к заданию (б) - поиску корней на интервале [-4π; -5π/2].

Для этого рассмотрим уравнение cos(x) = √3/2.

На интервале [-4π; -5π/2] косинус является отрицательным и уменьшается с увеличением аргумента.

Таким образом, на данном интервале уравнение cos(x) = √3/2 не имеет корней.

Ответ:

а) Корни уравнения 2sin(2x + π/3) - 3cosx = sin2x - √3 равны x = π/6 и x = 11π/6.

б) Уравнение cos(x) = √3/2 не имеет корней на интервале [-4π; -5π/2].