Question

y=2x^3-5x^2+3x-2 Найти: 1) Промежутки монатоности и точки экстремума 2) промежутки вогнутости или выпуклости и точки перегиба

Answer 1

Y=2x³-5x²+3x-2
y′=6x²-10x+3
6x²-10x+3=0
D=100-4*3*6=100-72=28
X1=(10+2√7)/12=2(5+√7)/12=(5+√7)/6
X2=(10-2√7)/12=(5-√7)/6
⬆(-∞;(5-√7)/6] и [(5+√7)/6;+∞)
⬇[(5-√7)/6;(5+√7)/6]
Xmin=(5+√7)/6
Xmax=(5-√7)/6
со вторым вопросом не смогу помочь

Answer 2

Для анализа монотонности, экстремумов, вогнутости и точек перегиба функции y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую и вторую производные функции y по x.
2. Решим уравнения f'(x) = 0 и f''(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производные равны нулю (экстремумы и точки перегиба).
3. Построим таблицу знаков первой и второй производных, чтобы определить промежутки монотонности и выпуклости/вогнутости.

Шаг 1: Найдем первую и вторую производные функции y по x.

Первая производная (f'(x)) функции y: f'(x) = d/dx(2x^3 - 5x^2 + 3x - 2) f'(x) = 6x^2 - 10x + 3

Вторая производная (f''(x)) функции y: f''(x) = d/dx(6x^2 - 10x + 3) f''(x) = 12x - 10

Шаг 2: Найдем точки экстремума и точки перегиба.

Точки экстремума получим, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение: 6x^2 - 10x + 3 = 0

Для нахождения точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: 12x - 10 = 0

Решим уравнения:

6x^2 - 10x + 3 = 0 Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта, чтобы найти корни: Дискриминант (D) = (-10)^2 - 4 * 6 * 3 = 100 - 72 = 28

Корни (x1, x2) = (10 + √28)/12 и (10 - √28)/12

x1 ≈ 1.31 x2 ≈ 0.19

Теперь решим уравнение для точек перегиба:

12x - 10 = 0 12x = 10 x ≈ 10/12 x ≈ 0.83

Шаг 3: Определим промежутки монотонности и выпуклости/вогнутости.

Для этого построим таблицу знаков первой и второй производных в интервалах, разделенных найденными точками экстремума и точкой перегиба.

Интервал	1-я производная f'(x)	2-я производная f''(x)
(-∞, 0.19)	(+)	(-)
(0.19, 0.83)	(-)	(+)
(0.83, 1.31)	(+)	(+)
(1.31, +∞)	(+)	(+)

Анализ:

1. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на интервалах (-∞, 0.19) и (0.83, +∞).
• Функция убывает на интервале (0.19, 0.83).

2. Точки экстремума:

• Минимум: x ≈ 0.19
• Максимум: x ≈ 1.31

3. Промежутки выпуклости/вогнутости:

• Функция вогнута в интервале (0.19, 0.83).
• Функция выпукла на интервалах (-∞, 0.19) и (0.83, +∞).

4. Точка перегиба:

• Точка перегиба: x ≈ 0.83

Теперь мы имеем полное представление о характеристиках функции y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2 на всей числовой прямой.