Question

Y=2x^3-3x^2-12x+11 1)Найти область определения функции D(y) 2) Проверит на четность, нечётность; периодичность 3) найти точки пересечения графика с осями координат 4) Критические точки функции, точки экстремума, промежутки мотоности 5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции точки перегиба 6) Построить график функции

Answer 1

Дана функция у = 2x³ - 3x² - 12x + 11.
1)Найти область определения функции D(y) - нет ограничений; -∞ < x< ∞.
2) Проверить на четность, нечётность; периодичность. 
Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- 12 x + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 11 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x + 11
- Нет
- 12 x + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 11 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 3 x^{2} - 12 x - 11
- Нет
значит, функция не является ни чётной ни нечётной.
3) найти точки пересечения графика с осями координат 
График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: - 12 x + 2 x³ - 3 x² + 11 = 0.
Решаем это уравнение вида ах³+bх²+сх+d=0  заменой х=у-(в/3а), чтобы привести исходное уравнение к каноническому виду у³+зу+q=0  , где числом p выступает выражение p=(3ac-b²)/3a²  , а q заменит трехчлен q=(2b³-9abc+27a²d)/27a³.
Точки пересечения с осью X:
x1 = 2.91186932437,
x2 = 0.839110570684,
x3 = -2.25097989506.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2x³- 3х² - 12x + 11.
 0³ - 0 - 0 + 11
Результат: у = 11.
Точка: (0, 11).
4) Критические точки функции, точки экстремума, промежутки монотоности.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = 6x²-6x-12 = 0  или х²-х-2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Определяем знаки производной вблизи найденных точек.
х =    -2    -1      0      1     2     3
y' =   24    0    -12    -12    0    24.
Производная меняет знак с + на - это максимум функции (точка х=-1; у=18), если с - на + это минимум (точка х = 2, у=-9).
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [2, oo),
Возрастает на промежутках [-1, 2].
5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
Вторая производная 6(2 x - 1 = 0.
Корни этого уравнения x_1 =1/2.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов.
Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f ´´(x) < 0 ( f ´´(x) > 0) во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз). 
Вогнутая на промежутке [1/2, oo),
Выпуклая на промежутке (-oo, 1/2].
6) Построить график функции - он дан в приложении.

Answer 2

1) Область определения функции D(y): Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 11 + 1 не имеет ограничений на x, поэтому ее область определения - все действительные числа.

2) Проверка на четность, нечетность и периодичность: Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 11 + 1 не является ни четной, ни нечетной, так как содержит все степени x. Она также не является периодической, так как не существует такого значения p, при котором выполняется равенство f(x + p) = f(x) для всех x.

3) Точки пересечения графика с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осями координат, нужно приравнять y к нулю и решить уравнение: 2x^3 - 3x^2 - 12x + 11 + 1 = 0

4) Критические точки функции, точки экстремума, промежутки монотонности: Для нахождения критических точек функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Затем анализируем знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить промежутки монотонности и точки экстремума.

5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба: Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, нужно анализировать знак второй производной функции. Перегибы происходят в точках, где вторая производная равна нулю или не существует.

6) Построение графика функции: Для построения графика функции можно использовать графические инструменты, такие как графический калькулятор или программы для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra. Необходимо построить график, учитывая все найденные ранее характеристики функции, такие как точки пересечения с осями координат, экстремумы, точки перегиба и промежутки монотонности.