Question

Найдите точку максимума функции f(x)=x^4*e^x-2

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Для найти точку максимума функции f(x) = x^4 * e^x - 2, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю. То есть, нам нужно найти такие значения x, где f'(x) = 0.

Давайте сначала найдем производную функции f(x):

f(x) = x^4 * e^x - 2

Используем правило производной произведения функций (Product Rule):

f'(x) = (x^4)' * e^x + x^4 * (e^x)'

Вычислим производные:

f'(x) = 4x^3 * e^x + x^4 * e^x

Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

4x^3 * e^x + x^4 * e^x = 0

e^x * (4x^3 + x^4) = 0

Так как экспонента e^x всегда положительна, то чтобы уравнение было выполнено, нужно, чтобы скобка (4x^3 + x^4) равнялась нулю:

4x^3 + x^4 = 0

x^3 * (4 + x) = 0

Теперь решим уравнение x^3 * (4 + x) = 0:

1. x^3 = 0 => x = 0

2. 4 + x = 0 => x = -4

Итак, мы получили две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = -4.

Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, давайте проанализируем вторую производную функции (f''(x)).

f''(x) = (4x^3 * e^x + x^4 * e^x)' = (4x^3 * e^x)' + (x^4 * e^x)'

f''(x) = (12x^2 * e^x + 4x^3 * e^x) + (x^4 * e^x)

f''(x) = e^x * (12x^2 + 4x^3 + x^4)

Теперь подставим найденные значения x:

1. При x = 0:

f''(0) = e^0 * (12 * 0^2 + 4 * 0^3 + 0^4) = 0

2. При x = -4:

f''(-4) = e^(-4) * (12 * (-4)^2 + 4 * (-4)^3 + (-4)^4)

Подсчет показателя степени на этом этапе немного громоздок, но можно упростить вычисления, учитывая, что степень при экспоненте e^x будет иметь большой положительный коэффициент при х^4, который будет доминировать, так как экспонента растет очень быстро.

Таким образом, f''(-4) будет положительным, потому что e^(-4) будет очень близко к нулю, и большой положительный коэффициент при х^4 будет определять знак.

Теперь у нас есть информация о значениях второй производной в двух критических точках:

1. f''(0) = 0
2. f''(-4) > 0

Теперь мы можем сделать вывод:

1. Точка x = 0 является точкой перегиба (не является ни минимумом, ни максимумом).

2. Точка x = -4 является точкой минимума (так как у второй производной положительное значение, то это является локальным минимумом).

Таким образом, точка минимума функции f(x) = x^4 * e^x - 2 находится при x = -4, и её значение равно:

f(-4) = (-4)^4 * e^(-4) - 2 ≈ 256 * 0.0183 - 2 ≈ 4.684.

Итак, точка максимума отсутствует, но есть локальный минимум при x = -4 с значением f(x) ≈ 4.684.