Question

Добрый день! Помогите решить интеграл dx/(1+tg^2(x))*cos^2(x)

Answer 1

$\int \frac{dx}{(1+tg^2x)\cdot cos^2x}=\int \frac{\frac{dx}{cos^2x}}{1+tg^2x}=[\, u=tgx\; ,\; du=\frac{dx}{cos^2x}\; ]=\\\\=\int \frac{du}{1+u^2}=arctgu+C=arctg(tgx)+C\\\\\\arctg(tgx)=x\; ,\; esli\; \; x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi }{2})$

Answer 2

Добрый день! Конечно, я помогу вам решить данный интеграл.

Для решения данного интеграла воспользуемся тригонометрическими тождествами. Обратим внимание, что в знаменателе у нас есть сумма квадратов, что намекает на использование тригонометрической подстановки.

Заменим $tg(x)$ на $u$, тогда $du = dx / cos^2(x)$.

Получаем следующий интеграл:

$\int \frac{dx}{1 + tg^2(x)} \cdot cos^2(x) = \int \frac{du}{1 + u^2}$

Теперь решим получившийся интеграл по переменной $u$:

$\int \frac{du}{1 + u^2} = \arctan(u) + C$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Осталось вернуться к исходной переменной $x$. Мы заменили $u = tg(x)$, поэтому $\arctan(u) = \arctan(tg(x)) = x$.

Таким образом, окончательный ответ:

$\int \frac{dx}{1 + tg^2(x)} \cdot cos^2(x) = \arctan(tg(x)) + C = x + C$

Где $C$ - произвольная постоянная.