Question

(1- 4sin^2x*cos^2x)/((sinx+cosx)^2 ) -2cosx*sin(-x)=1 помогите пожалуйста, очень надо

Answer 1

$\displaystyle \frac{1-4sin^2x*cos^2x}{(sinx+cosx)^2}-2cosx*sin(-x)=1\\\\ \frac{1-(2sinx*cosx)^2}{(sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x)}-2cosx*(-sinx)=1\\\\ \frac{1-sin^22x}{1+sin2x} +sin2x-1=0\\\\ \frac{(1-sin^22x)+(sin^22x-1)}{1+sin2x}=0 \\\\ \frac{0}{1+sin2x}=0$

справедливо для любых х кроме

$\displaystyle 1+sin2x \neq 0\\\\sin2x \neq -1\\\\2x \neq - \frac{ \pi }{2}+2 \pi n; n\in Z\\\\x \neq - \frac{ \pi }{4}+ \pi n; n\in Z$

Answer 2

Давайте посмотрим на уравнение и постараемся его решить:

(1 - 4sin^2xcos^2x)/((sinx + cosx)^2) - 2cosxsin(-x) = 1

Первым шагом давайте упростим выражение:

sin(-x) = -sin(x) (синус является нечетной функцией)

(1 - 4sin^2xcos^2x)/((sinx + cosx)^2) + 2cosxsin(x) = 1

Теперь разберемся с первой частью уравнения. Мы можем заметить, что 1 = (sin^2x + cos^2x), поэтому перепишем числитель дроби:

(1 - 4sin^2xcos^2x) = (sin^2x + cos^2x) - 4sin^2xcos^2x = sin^2x + cos^2x - 4sin^2x*cos^2x

Теперь мы можем преобразовать эту часть:

(sin^2x + cos^2x - 4sin^2xcos^2x)/((sinx + cosx)^2) + 2cosxsin(x) = 1

Теперь заметим, что sin^2x + cos^2x = 1, и подставим это:

(1 - 4sin^2xcos^2x)/((sinx + cosx)^2) + 2cosxsin(x) = 1

Теперь обратим внимание на множитель 4 перед sin^2x*cos^2x. Мы можем заметить, что это sin^2(2x), поэтому:

(1 - sin^2(2x))/((sinx + cosx)^2) + 2cosx*sin(x) = 1

Теперь вспомним тригонометрическую идентичность sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2:

((1 - (1 - cos(4x))/2)/((sinx + cosx)^2) + 2cosx*sin(x) = 1

Теперь упростим числитель дроби:

(((2 - (1 - cos(4x)))/2)/((sinx + cosx)^2) + 2cosx*sin(x) = 1

Упростим дальше:

(((2 - 1 + cos(4x))/2)/((sinx + cosx)^2) + 2cosx*sin(x) = 1

((1 + cos(4x))/2)/((sinx + cosx)^2) + 2cosx*sin(x) = 1

Теперь умножим обе стороны на ((sinx + cosx)^2):

(1 + cos(4x))/2 + 2cosxsin(x)(sinx + cosx)^2 = (sinx + cosx)^2

Теперь раскроем квадрат в последнем слагаемом:

(1 + cos(4x))/2 + 2cosxsin(x)(sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x) = (sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x)^2

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

(1 + cos(4x))/2 + 2cosxsin(x)(sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x) = sin^4x + 4sin^3xcosx + 2sin^2xcos^2x + 4sinxcos^3x + cos^4x

Теперь приведем подобные слагаемые:

(1 + cos(4x))/2 + sin^4x + 4sin^3xcosx + 2sin^2xcos^2x + 4sinxcos^3x + cos^4x = sin^4x + 4sin^3xcosx + 2sin^2xcos^2x + 4sinxcos^3x + cos^4x

Теперь вычтем (sin^4x + 4sin^3xcosx + 2sin^2xcos^2x + 4sinx*cos^3x + cos^4x) с обеих сторон уравнения:

(1 + cos(4x))/2 = 0

Теперь умножим обе стороны на 2:

1 + cos(4x) = 0

Теперь вычтем 1 с обеих сторон уравнения:

cos(4x) = -1

Теперь решим уравнение для 4x:

4x = π + 2πn, где n - целое число (потому что cos(4x) имеет период 2π)

Теперь найдем значения x:

x = π/4 + (2πn)/4

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/4 + πn/2, где n - целое число.