Question

Как решить y"+36y=3 sin x

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом:

y'' + 36y = 3sin(x).

Чтобы решить это уравнение, сначала предположим, что решение имеет вид y(x) = Asin(kx) + Bcos(kx), где A и B - произвольные константы, а k - поисканная константа.

Давайте найдем производные y(x):

y'(x) = Akcos(kx) - Bksin(kx), y''(x) = -Ak^2sin(kx) - Bk^2cos(kx).

Теперь подставим y и его производные обратно в исходное уравнение:

-Ak^2sin(kx) - Bk^2cos(kx) + 36(Asin(kx) + Bcos(kx)) = 3sin(x).

Теперь сгруппируем синусы и косинусы:

(36A - Ak^2)*sin(kx) + (36B - Bk^2)*cos(kx) = 3sin(x).

Так как sin(x) и cos(x) линейно независимы, то коэффициенты при них должны быть равны:

36A - Ak^2 = 0, (1) 36B - Bk^2 = 3. (2)

Рассмотрим уравнение (1):

36A - Ak^2 = 0.

Разделим обе стороны на A:

36 - k^2 = 0.

Теперь решим это уравнение относительно k^2:

k^2 = 36.

k = ±6.

Таким образом, у нас есть два значения k: k1 = 6 и k2 = -6.

Теперь найдем значения A и B. Подставим k1 и k2 в уравнение (1) и решим их относительно A и B:

Для k1 = 6:

36A - (6)^2 = 0, 36A - 36 = 0, 36A = 36, A = 1.

Для k2 = -6:

36A - (-6)^2 = 0, 36A - 36 = 0, 36A = 36, A = 1.

Теперь найдем B, подставив k1 и k2 в уравнение (2):

Для k1 = 6:

36B - B(6)^2 = 3, 36B - 36B = 3, 0 = 3.

Уравнение не имеет решения.

Для k2 = -6:

36B - B(-6)^2 = 3, 36B - 36B = 3, 0 = 3.

Уравнение также не имеет решения.

Таким образом, уравнение y'' + 36y = 3sin(x) не имеет частного решения в виде y(x) = Asin(kx) + Bcos(kx). Вероятно, я допустил ошибку в расчетах или предположениях. Пожалуйста, перепроверьте условия задачи или дайте знать, если есть другие ограничения для уравнения, чтобы я смог помочь более точно.