Question

1.Найти неопределенный интеграл 1) S(4cosx+sinx)dx 2) S(3e^x+2^x)dx 2.Найти определенный интеграл 1) S²x²dx 2) S1²5dx 3) S1²(2x-4)dx 3.Вычислить площадь ограниченную линиями 1. у=2x+1 y=0 y=1 y=2

Answer 1

Ответ:.................

Answer 2

1. Найдем неопределенные интегралы:

1. ∫(4cosx + sinx) dx

Интегрирование члена за членом: ∫(4cosx) dx + ∫(sinx) dx

Интеграл от cosx: ∫(4cosx) dx = 4∫cosx dx = 4sinx + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл от sinx: ∫(sinx) dx = -cosx + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, неопределенный интеграл будет: ∫(4cosx + sinx) dx = 4sinx - cosx + C, где C = C1 + C2 - итоговая произвольная постоянная.

2. ∫(3e^x + 2^x) dx

Интегрирование члена за членом: ∫(3e^x) dx + ∫(2^x) dx

Интеграл от e^x: ∫(3e^x) dx = 3∫e^x dx = 3e^x + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Интеграл от 2^x: ∫(2^x) dx = (2^x) / ln(2) + C4, где C4 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, неопределенный интеграл будет: ∫(3e^x + 2^x) dx = 3e^x + (2^x) / ln(2) + C, где C = C3 + C4 - итоговая произвольная постоянная.

2. Найдем определенные интегралы:

1. ∫(x^2) dx

Определенный интеграл ∫(x^2) dx на интервале от a до b равен разности неопределенных интегралов в точках b и a:

∫(x^2) dx = (x^3) / 3 + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, определенный интеграл на интервале [a, b] будет: ∫[a, b] (x^2) dx = [(b^3) / 3 - (a^3) / 3]

2. ∫(1 + 25) dx

Определенный интеграл ∫(1 + 25) dx на интервале от a до b равен разности неопределенных интегралов в точках b и a:

∫(1 + 25) dx = x + 25x + C5, где C5 - произвольная постоянная.

Таким образом, определенный интеграл на интервале [a, b] будет: ∫[a, b] (1 + 25) dx = [(b + 25b) - (a + 25a)]

3. ∫(2x - 4) dx

Определенный интеграл ∫(2x - 4) dx на интервале от a до b равен разности неопределенных интегралов в точках b и a:

∫(2x - 4) dx = x^2 - 4x + C6, где C6 - произвольная постоянная.

Таким образом, определенный интеграл на интервале [a, b] будет: ∫[a, b] (2x - 4) dx = [(b^2 - 4b) - (a^2 - 4a)]

3. Вычислим площадь, ограниченную указанными линиями:

У нас есть три линии:

1. у = 2x + 1
2. y = 0
3. y = 1
4. y = 2

Первая линия представляет собой прямую. Чтобы найти точки пересечения с остальными линиями, приравняем уравнения:

1. у = 2x + 1
2. y = 0

2x + 1 = 0 2x = -1 x = -1/2

Точка пересечения: (-1/2, 0)

1. у = 2x + 1
2. y = 1

2x + 1 = 1 2x = 0 x = 0

Точка пересечения: (0, 1)

1. у = 2x + 1
2. y = 2

2x + 1 = 2 2x = 1 x = 1/2

Точка пересечения: (1/2, 2)

Таким образом, область ограничена линиями х = -1/2, х = 0, х = 1/2 и кривыми у = 2x + 1, у = 0, у = 1, у = 2.

Чтобы вычислить площадь этой области, разобьем ее на три части: два треугольника и прямоугольник.

Площадь треугольника: S_triangle = (1/2) * base * height

1. Треугольник 1: база = 1/2 - 0 = 1/2, высота = 0 - (-1) = 1 S_triangle1 = (1/2) * (1/2) * 1 = 1/4

2. Треугольник 2: база = 1/2 - 0 = 1/2, высота = 1 - 0 = 1 S_triangle2 = (1/2) * (1/2) * 1 = 1/4

Площадь прямоугольника: S_rectangle