Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4-2x^2+3 на числовом отрезке [0;2]

Answer 1

Y'=4x^3-4x
Экстремумы:
x=-1 - точка минимума
x=0 - точка максимума
x=1 - точка минимума
y(0)=3
y(1)=2
y(2)=11
Ответ: наибольшее значение y=11
наименьшее y=2

Answer 2

Для найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=x^4-2x^2+3$ на числовом отрезке $[0;2]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки внутри отрезка $[0;2]$, где находятся локальные максимумы и минимумы функции. Критические точки возникают, когда производная функции равна нулю или не существует.

2. Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка $[0;2]$, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции $y=x^4-2x^2+3$ и решим уравнение $y'=0$ для поиска критических точек.

$y=x^4-2x^2+3$

$y' = 4x^3 - 4x$

Теперь решим $y'=0$ для $x$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x + 1)(x - 1) = 0$

Из этого уравнения мы получаем три критических точки: $x = 0$, $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 2: Теперь найдем значения функции в этих критических точках и на концах отрезка $[0;2]$.

• Подставим $x = 0$:

$y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$

• Подставим $x = 2$:

$y = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$

• Подставим $x = -1$:

$y = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

• Подставим $x = 1$:

$y = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[0;2]$ равно 11 (достигается в точке $x = 2$), а наименьшее значение равно 2 (достигается в точках $x = -1$ и $x = 1$).