Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y= -x^2+x+6 и y=0 Помогите с решением

Answer 1

-x^2+x+6=0

x^2-x-6=0

D=1+24=25

x1=(1+5)/2=6/2=3

x2=(1-5)/2=-4/2=-2

(-2;3) S (-x^2+x+6) dx= -x^3/3 +x^2/2 +6x |(-2;3) =

=-9+9/2 +18-( -(-8/3) +2-12) = 9+9/2 -8/3+10 = 19+9/2-8/3 =

=19+(27-16)/6 = 19 +11/6 = 19+1 5/6 = 20 5/6

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл между этими точками. В данном случае, для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + x + 6 и y = 0, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линий y = -x^2 + x + 6 и y = 0, решив уравнение -x^2 + x + 6 = 0.

2. Найденные точки пересечения определяют интервал интегрирования.

3. Вычислить интеграл от линии y = -x^2 + x + 6 до y = 0 на найденном интервале, чтобы получить площадь.

Давайте выполним эти шаги.

1. Найдем точки пересечения: Так как y = 0, подставим это значение в уравнение первой кривой:

• x^2 + x + 6 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или факторизации. Давайте воспользуемся дискриминантом:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где уравнение имеет форму ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае a = -1, b = 1 и c = 6: D = 1^2 - 4 * (-1) * 6 = 1 + 24 = 25

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных вещественных корня: x = (-b + √D) / 2a и x = (-b - √D) / 2a

x = (-(1) + √25) / 2*(-1) = (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3 x = (-(1) - √25) / 2*(-1) = (1 - 5) / 2 = -4/2 = -2

Таким образом, точки пересечения линий y = -x^2 + x + 6 и y = 0: A(-2, 0) и B(3, 0).

2. Определить интервал интегрирования: Фигура ограничена линиями y = -x^2 + x + 6 и y = 0 от x = -2 до x = 3.

3. Вычислить площадь: Площадь фигуры равна модулю определенного интеграла от y = -x^2 + x + 6 до y = 0 на интервале [-2, 3]:

Площадь = ∫[от -2 до 3] |-x^2 + x + 6| dx

Теперь выполним интегрирование: ∫[от -2 до 3] |-x^2 + x + 6| dx = ∫[от -2 до 3] (x^2 - x - 6) dx

Для нахождения этого определенного интеграла, выполним интегрирование каждого слагаемого по отдельности:

∫(x^2) dx = (x^3) / 3 ∫(x) dx = (x^2) / 2 ∫(-6) dx = -6x

Теперь вычислим интеграл на интервале [-2, 3]:

∫[от -2 до 3] (x^2 - x - 6) dx = [(3^3) / 3 - (3^2) / 2 - 6(3)] - [((-2)^3) / 3 - ((-2)^2) / 2 - 6(-2)] = [27/3 - 9/2 - 18] - [-8/3 - 2 - (-12)] = [9 - 9/2 - 18] - [-8/3 + 10] = [9 - 9/2 - 18] - [10/3] = 0 - 10/3 = -10/3 ≈ -3.33

Поскольку площадь не может быть отрицательной, возьмем модуль результата: | -10/3 | = 10/3 ≈ 3.33

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + x + 6 и y = 0, составляет примерно 3.33 квадратных единицы.