Question

в урне m белых и n черных шаров из урны вынимают наугад два шара найти вероятность того что эти шары не одного цвета

Answer 1

Все исходы - это количество двоек шаров. Оно равняется  $C_{m+n}^{2}$;
Благоприятные исходы - это исходы с шарами разного цвета.
Найдем количество исходов с шарами одинаковых цветов. Это количество равно способам выбрать два белых шара плюс количество способов выбрать два черных шара. Иначе говоря,  $0,5n(n-1)+0,5m(m-1)$
Значит количество благоприятных исходов равно  $C_{m+n}^{2} -0,5n(n-1)-0,5m(m-1)$
Значит вероятность равна  $\frac{C_{m+n}^{2} -0,5n(n-1)-0,5m(m-1)}{C_{m+n}^{2}}=1- \frac{n(n-1)+m(m-1)}{2C_{m+n}^{2}} =1- \frac{m^{2}+n^{2}-(m+n)}{(m+n-1)(m+n)}$, далее, после упрощения получим:  $1-\frac{(m+n)^{2}-2mn-(m+n)}{(m+n-1)(m+n)}=1-\frac{(m+n)(m+n-1)-2mn}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{2mn}{(m+n)(m+n-1)}$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод комбинаторики. Вероятность того, что вынуты два шара разного цвета, можно найти следующим образом:

Общее количество способов выбрать два шара из урны составит C(m + n, 2), где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов по k элементов.

Теперь найдем количество способов выбрать два шара разного цвета. Чтобы это сделать, нужно выбрать один белый шар и один черный шар (или наоборот). Количество способов выбрать один белый шар из m белых шаров равно m, а количество способов выбрать один черный шар из n черных шаров равно n. Таким образом, общее количество способов выбрать два шара разного цвета равно m * n * 2 (учитывая два варианта — сначала белый, потом черный или наоборот).

Таким образом, вероятность того, что вынуты два шара разного цвета, равна:

P(два шара разного цвета) = (количество способов выбрать два шара разного цвета) / (общее количество способов выбрать два шара)

P(два шара разного цвета) = (m * n * 2) / C(m + n, 2)

Где C(m + n, 2) = (m + n)! / (2! * (m + n - 2)!) — формула для вычисления числа сочетаний.

Зная значения m и n, вы можете вычислить вероятность того, что два вынутых шара будут разного цвета.