Question

Решить дифференциальное уравнение cos^2ydx=(x^2+1)dy

Answer 1

$cos^{2}ydx=(x^{2}+1)dy$
$\frac{dy}{cas^{2}y}= \frac{dx}{(x^{2}+1)}$
$\int\limits\frac{dy}{cas^{2}y}= \int\limits\frac{dx}{(x^{2}+1)}$
tgy=arctgx+C

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, необходимо разделить его на выражения, содержащие переменные, и затем проинтегрировать обе стороны.

Уравнение: cos^2(y)dx = (x^2 + 1)dy

Для начала, разделим обе стороны на cos^2(y) и dy:

dx/dy = (x^2 + 1) / cos^2(y)

Теперь переместим dy на одну сторону, а dx на другую:

cos^2(y)dy = dx / (x^2 + 1)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫cos^2(y)dy = ∫dx / (x^2 + 1)

Интеграл ∫cos^2(y)dy легко вычислить:

∫cos^2(y)dy = ∫(1 + cos(2y))/2 dy = 1/2 ∫(1 + cos(2y)) dy

∫cos(2y)dy = 1/2 sin(2y)

∫dy = y

Теперь проинтегрируем правую часть уравнения:

∫dx / (x^2 + 1) = arctan(x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

1/2 sin(2y) = arctan(x) + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, решением дифференциального уравнения является:

sin(2y) = 2(arctan(x) + C)

Если изначально заданы начальные условия (например, значение y при x=0), то можно найти значение постоянной C и получить конкретное решение.