Question

В прямоугольный треугольник,один из углов которого равен ,случайным образом бросается точка.Какова вероятность того,что она окажется внутри вписанной в треугольник окружности?

Answer 1

.......................

Answer 2

Пусть гипотенуза АВ = а, тогда против угла 30°, катет АС в два раза меньше за гипотенузу, то есть: $AC=\frac{a}{2}$ и тогда по т. Пифагора:

$BC=\sqrt{AB^2-AC^2} =\sqrt{a^2-(\frac{a}{2} )^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

$r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\frac{\frac{a}{2} +\frac{a\sqrt{3}}{2}-a }{2} =\frac{a(\sqrt{3}-1)}{4}$

Площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник, равна:

$S_1=\pi r^2=\pi \cdot(\frac{a(\sqrt{3}-1)}{4} )^2=\pi \cdot\frac{a^2(4-2\sqrt{3})}{16}=\frac{\pi a^2(2-\sqrt{3})}{8}$

Площадь прямоугольного треугольника:

$S_1=\dfrac{AC\cdot BC}{2} =\dfrac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} =\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}$

Искомая вероятность: $P=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{\pi a^2(2-\sqrt{3})}{8} }{\frac{a^2\sqrt{3}}{8}} =\dfrac{\pi(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{3}$

Answer 3

Для решения этой задачи предположим, что прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенуза (сторона против угла 90 градусов) равна c. Пусть точка P бросается случайным образом внутри треугольника.

Чтобы точка P оказалась внутри вписанной окружности, её расстояние до каждой стороны треугольника должно быть меньше или равно радиусу окружности. Так как вписанная окружность треугольника касается всех трёх сторон, расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу окружности.

Радиус вписанной окружности (r) можно найти, используя формулу площади треугольника:

Площадь треугольника (S) = (a * b) / 2 Полупериметр треугольника (p) = (a + b + c) / 2

Радиус вписанной окружности (r) = S / p

Теперь, чтобы найти вероятность того, что точка P окажется внутри вписанной окружности, нам нужно найти отношение площади окружности к площади треугольника.

Площадь окружности = π * r^2 Площадь треугольника = S

Вероятность (P) = Площадь окружности / Площадь треугольника

Подставим значение радиуса в формулу и найдем вероятность:

Площадь треугольника (S) = (a * b) / 2 Полупериметр треугольника (p) = (a + b + c) / 2 Радиус вписанной окружности (r) = S / p

Площадь окружности = π * r^2 Вероятность (P) = Площадь окружности / Площадь треугольника

Однако в вашем вопросе не указаны значения сторон треугольника или угла. Если вы предоставите дополнительную информацию о треугольнике (например, длины его сторон или значение угла), я смогу помочь вам решить задачу.