Question

Соs15 - sin15 ——— —— Sin15 Cos15 Решить (упростить выражение )

Answer 1

$\frac{\cos15 - \sin15}{ \sin15\cos15 }$
знаменатель можно представить как
$\frac{2 \sin15 \cos15}{2}$
по сути тоже самое, но теперь его можно преобразовать по формуле синуса двойного угла
$\frac{ \sin30}{2}$
теперь всё выражение примет вид
$\frac{2( \cos15 - \sin15)}{ \sin30 }$
так как синус 30 табличное значение не будем трогать его, а нынешний числитель преобразуем
$cos15=cos(90-75)=sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45 = (\frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + ( \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} )$
$\frac{ \sqrt{2} }{4} + \frac{ \sqrt{6} }{4} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4}$
$sin15=sin(90-75)=cos75=cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45=( \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) - ( \frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} )$
$\frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}$
подставляем полученные выражения к друг другу
$\frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} - ( \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4} )$
$\frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}$
$\frac{2 \sqrt{2} }{4}$
$\frac{ \sqrt{2} }{2}$
возвращаемся к самому началу
$\frac{2( \frac{ \sqrt{2} }{2} )}{ \sin30}$
$\frac{ \sqrt{2} }{ \frac{1}{2} }$
ответ :
$2 \sqrt{2}$

Answer 2

To simplify the given expression, we can use trigonometric identities. Let's start by rewriting the expression:

(cos 15° - sin 15°) / (sin 15° * cos 15°)

Now, we'll use the following trigonometric identities:

1. sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2. cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1

We notice that the denominator, sin 15° * cos 15°, is sin(2 * 15°). Using identity (1):

sin(2 * 15°) = 2sin(15°)cos(15°)

Now, the numerator, cos 15° - sin 15°, can be rewritten as cos(15°) - sin(15°).

Using identity (2):

cos(2 * 15°) = 2cos^2(15°) - 1

Now we have everything we need to simplify the expression:

(cos 15° - sin 15°) / (sin 15° * cos 15°) = (cos(15°) - sin(15°)) / (2sin(15°)cos(15°))

Next, let's use the double-angle identity for sine (1):

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Therefore,

sin(30°) = 2sin(15°)cos(15°)

Now we can rewrite the expression again:

(cos 15° - sin 15°) / (sin 15° * cos 15°) = (cos(15°) - sin(15°)) / sin(30°)

Now, recall that sin(30°) = 1/2, so the final simplified expression is:

(cos 15° - sin 15°) / (sin 15° * cos 15°) = (cos(15°) - sin(15°)) / (1/2)

To eliminate the fraction in the denominator, we can multiply both the numerator and denominator by 2:

(cos 15° - sin 15°) / (sin 15° * cos 15°) = 2 * (cos(15°) - sin(15°))

And that's the simplified expression:

2 * (cos 15° - sin 15°)