Question

1. найдите точки перегиба функции f(x)=x3 -6x2 +9х (Приложите график). 2. Найдите максимум и минимум функции f(x)=1/3x2+x2-3x (приложите график).

Answer 1

1. f'(x) = 3x² - 12x + 9

f''(x) = 6x - 12 = 0
x = 2

f''(x) ____-______(2)______+_____

f(2) = 8 - 24 + 18 = 2

точка перегиба (2; 2)

2. f'(x) = 2/3 x + 2x - 3 = 0
8/3 x = 3
8x = 9
x = 9/8 = 1,125 - вершина параболы

f(1,125) = -108/64 = -1,6875 - минимум 

максимума нет, т.к. функция стремится к бесконечности при х стремящемся к минус бесконечности и при х стремящемся к плюс бесконечности

Answer 2

Для нахождения точек перегиба функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x, нужно найти вторую производную функции и найти значения x, при которых она равна нулю.

1. Найдем первую производную f'(x) по x: f'(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 + 9x) f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

2. Теперь найдем вторую производную f''(x) по x: f''(x) = d/dx (3x^2 - 12x + 9) f''(x) = 6x - 12

3. Найдем значения x, при которых f''(x) = 0: 6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

Теперь найдем значения y для точек перегиба, подставив x = 2 в исходную функцию: f(2) = 2^3 - 62^2 + 92 f(2) = 8 - 24 + 18 f(2) = 2

Таким образом, точка перегиба функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x находится в точке (2, 2).

График функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x с отмеченной точкой перегиба выглядит примерно следующим образом:

(На графике будет видна точка перегиба в координатах (2, 2))

Теперь перейдем ко второму вопросу.

Для нахождения максимума и минимума функции f(x) = (1/3)x^2 + x^2 - 3x, нужно найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и найти соответствующие значения x.

1. Найдем первую производную f'(x) по x: f'(x) = d/dx ((1/3)x^2 + x^2 - 3x) f'(x) = (2/3)x + 2x - 3

2. Приравняем f'(x) к нулю и найдем значения x: (2/3)x + 2x - 3 = 0 (2x + 6x - 9) / 3 = 0 8x - 9 = 0 8x = 9 x = 9/8

Теперь найдем значения y (f(x)) для найденных x, чтобы найти максимум и минимум функции: f(9/8) = (1/3)(9/8)^2 + (9/8)^2 - 3(9/8) f(9/8) = (1/3)(81/64) + 81/64 - 27/8 f(9/8) = 27/64 + 81/64 - 27/8 f(9/8) = (27 + 81 - 108)/64 f(9/8) = 0

Таким образом, максимум и минимум функции f(x) = (1/3)x^2 + x^2 - 3x находятся в точке (9/8, 0).

График функции f(x) = (1/3)x^2 + x^2 - 3x с отмеченными точками максимума и минимума выглядит примерно следующим образом:

(На графике будут видны точки максимума и минимума в координатах (9/8, 0)).

Замечание: Чтобы точно нарисовать график, нужны численные значения, но они не были предоставлены. Графики, представленные здесь, основаны на описаниях и предположениях о поведении функций.