Question

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 2y'/x=y-2 Помогите, пожалуйста

Answer 1

Ловите решение.
Разделяем переменные: у часть и в числителе dy, также x часть и дифференциал dx.
Интегрируем обе части и переходим от логарифма к экспоненциальному виду, для того чтобы выразить у в явном виде.
Удачи!

Answer 2

Конечно, помогу! Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следуйте этим шагам:

1. Перепишите уравнение в стандартной форме для уравнений с разделяющимися переменными. Выразите все части уравнения с y и y' на одной стороне, а все части с x на другой стороне: 2y'/x = y - 2

2. Разделите обе части уравнения на (y - 2), чтобы выразить y' относительно y: y' = (y - 2)/2x

3. Теперь разделяйте переменные, перемещая y на одну сторону уравнения, а x и dx на другую сторону: (1/(y - 2)) dy = (1/2x) dx

4. Проинтегрируйте обе стороны уравнения отдельно: ∫(1/(y - 2)) dy = ∫(1/2x) dx

5. Выполните интегрирование: ln|y - 2| = (1/2)ln|x| + C

   где C - постоянная интегрирования.

6. Используйте свойство логарифма для объединения логарифма с абсолютными значениями: ln|y - 2| = ln|x^(1/2)| + C

7. Уберите натуральный логарифм, возведя обе стороны уравнения в экспоненту: |y - 2| = |x^(1/2)| * e^C

8. Заметьте, что константу e^C можно заменить на другую константу, скажем, на A: |y - 2| = A|x^(1/2)|

9. Теперь рассмотрим два случая для выражения с модулем:

   a) (y - 2) = A * x^(1/2) b) -(y - 2) = A * x^(1/2)

   В обоих случаях можно решить уравнение для y.

   a) y - 2 = A * x^(1/2) y = A * x^(1/2) + 2

   b) -(y - 2) = A * x^(1/2) y - 2 = -A * x^(1/2) y = 2 - A * x^(1/2)

Таким образом, общим решением данного дифференциального уравнения является: y = A * x^(1/2) + 2 и y = 2 - A * x^(1/2)

где A - произвольная постоянная.