Question

Всхожесть семян данного растения равна 0,8. Какова вероятность того,что из 800 посеянных семян число проросших заключено между 690 и 760?

Answer 1

$q=1-p=1-0.8=0.2$ - вероятность противоположного события.
По интегральной теореме Лапласа:  $P_n(k_1 \leq k \leq k_2)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1)$

Где  $x_1= \dfrac{k_1-np}{ \sqrt{npq} } ;~~~x_2= \dfrac{k_2-np}{ \sqrt{npq} }$ и  $\Phi(x)$ - функция Лапласа:

$x_1= \dfrac{k_1-np}{ \sqrt{npq} } = \dfrac{690-800\cdot0.8}{\sqrt{800\cdot0.8\cdot0.2}}\approx 4.42\\ \\ x_2= \dfrac{k_2-np}{ \sqrt{npq} } = \dfrac{760-800\cdot0.8}{\sqrt{800\cdot0.8\cdot0.2}}\approx10.61$


Искомая вероятность:  $P_{800}(690 \leq k \leq 760)\approx\Phi(10.61)-\Phi(4.42)=0.499-0.499=0$

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с определенным количеством испытаний (посев семян) и двумя исходами (проросшие и не проросшие).

Формула для биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где: P(X = k) - вероятность того, что ровно k семян проросло C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k (также известное как биномиальный коэффициент) p - вероятность прорастания одного семени n - общее количество испытаний (количество посеянных семян) k - количество проросших семян (заключено между 690 и 760 в данном случае)

В данной задаче: p = 0,8 (вероятность прорастания одного семени) n = 800 (общее количество посеянных семян)

Теперь мы должны вычислить вероятность того, что k будет находиться в интервале от 690 до 760.

P(690 <= X <= 760) = P(X = 690) + P(X = 691) + ... + P(X = 760)

Такая сумма может быть довольно сложной для вычисления вручную. Но с помощью программирования или калькулятора с функцией биномиального распределения можно получить ответ. Например, в Python можно воспользоваться библиотекой scipy:

pythonCopy code
from scipy.stats import binom

n = 800
p = 0.8
k_min = 690
k_max = 760

# Вероятность прорастания от k_min до k_max
probability = sum(binom.pmf(k, n, p) for k in range(k_min, k_max + 1))
print("Вероятность прорастания от 690 до 760:", probability)

Результат будет представлять собой вероятность того, что число проросших семян находится между 690 и 760 из 800 посеянных.