Question

Найдите первый член геометрической прогрессии, если третий член равен –10, а его квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член

Answer 1

Пусть знаменатель прогрессии равен q; n-ый член равен  $b_{n}$
$b_{1}q^{2}=b_{3}=-10$
По условию  $100+b_{1}q^{6}=3b_{1}q^{4}= \frac{300}{b_{1}} \Leftrightarrow 100b_{1}+b_{1}^{2}q^{6}=300$ (1)

При этом 
$(b_{1}q^{2})^{3}=b_{1}^{3}q^{6}=(-10)^{3}=-1000 \Leftrightarrow b_{1}^{2}q^{6}= \frac{-1000}{b_{1}}$

Подставим это в (1): 
$100b_{1}-\frac{1000}{b_{1}} =300 \Leftrightarrow b_{1}=-2;b_{1}=5$
Но третий член отрицательный. Значит и первый член отрицателен. Следовательно  $b_{1}=-2$

Answer 2

Дано, что геометрическая прогрессия имеет вид: a, ar, ar^2, ar^3, ...

Пусть первый член прогрессии равен "a", а её знаменатель (отношение между соседними членами) равен "r".

Тогда третий член равен "ar^2", и седьмой член равен "ar^6".

Условие гласит: (ar^2)^2 + (ar^6) = 3 * (ar^4)

Распишем это уравнение:

a^2 * r^4 + a * r^6 = 3 * a * r^4

Теперь сократим на "a * r^4" (предполагаем, что "a" и "r" не равны нулю):

a * r^2 + 1 = 3

a * r^2 = 2

Теперь у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными ("a" и "r"). Нам нужна еще одна информация о прогрессии, чтобы решить систему уравнений. Если бы у нас была дополнительная информация о прогрессии, например, еще одно уравнение, мы могли бы решить систему и найти значения "a" и "r". Однако, в текущей формулировке задачи, без дополнительных данных, мы не можем определить единственное значение первого члена геометрической прогрессии.