Question

Исследовать на эксремум функцию y=x^3-3x^2-9x-4

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для исследования на экстремум функции y = x^3 - 3x^2 - 9x - 4 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции.
2. Найти точки, в которых первая производная равна нулю (критические точки).
3. Найти вторую производную функции.
4. Определить характер экстремума в критических точках (минимум, максимум или нет).
5. Найти значения функции в найденных экстремумах, если они существуют.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y = x^3 - 3x^2 - 9x - 4.

dy/dx = d/dx (x^3 - 3x^2 - 9x - 4) = 3x^2 - 6x - 9.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 6x - 9 = 0.

Делаем замену: x^2 - 2x - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 3)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.

Шаг 3: Найдем вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = d/dx (3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6.

Шаг 4: Определим характер экстремума в критических точках.

• При x = 3:

d^2y/dx^2 = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 (положительное значение).

Так как вторая производная положительна, это означает, что у нас имеется локальный минимум в точке x = 3.

• При x = -1:

d^2y/dx^2 = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12 (отрицательное значение).

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что у нас имеется локальный максимум в точке x = -1.

Шаг 5: Найдем значения функции в найденных экстремумах:

• Для x = 3:

y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 4 = 27 - 27 - 27 - 4 = -31.

• Для x = -1:

y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 4 = -1 - (-3) + 9 - 4 = 5.

Итак, у нас есть локальный минимум в точке (3, -31) и локальный максимум в точке (-1, 5) для функции y = x^3 - 3x^2 - 9x - 4.