Question

6 cos^2(x) - 5 sin x - 2 = 0 найти сумму корней или корень, принадлежащий промежутку [7\pi /2 ; - 5 \pi /2 ] [/tex] я нашла корни уравнения, но не понимаю, что делать с ними дальше. большое спасибо.

Answer 1

Если у тебя вышло несколько корней и все они принадлежат данному промежутку, то их необходимо сложить, сумма будет ответом. Иначе в ответ записывается значение одного единственного корня, принадлежащего промежутку.

Answer 2

Давайте решим уравнение пошагово и найдем сумму корней, а затем проверим, какие из этих корней принадлежат заданному интервалу.

Уравнение, которое мы хотим решить, выглядит следующим образом:

$6\cos^2(x) - 5\sin(x) - 2 = 0.$

Для решения уравнения нам нужно заметить, что $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$, и заменить $\cos^2(x)$ в уравнении на $1 - \sin^2(x)$:

$6(1 - \sin^2(x)) - 5\sin(x) - 2 = 0.$

Теперь раскроем скобки:

$6 - 6\sin^2(x) - 5\sin(x) - 2 = 0.$

Упорядочим уравнение по степеням $\sin(x)$:

$6\sin^2(x) + 5\sin(x) - 4 = 0.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Давайте решим его.

Мы можем решить квадратное уравнение, используя стандартную квадратную формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где у нас есть уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем случае $a = 6$, $b = 5$, и $c = -4$.

$\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $\sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6}$ $\sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{12}$ $\sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{12}$ $\sin(x) = \frac{-5 \pm 11}{12}$

Теперь у нас есть два возможных значения для $\sin(x)$:

1. $\sin(x) = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
2. $\sin(x) = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

Заметим, что значения синуса находятся в пределах от -1 до 1, поэтому второе значение $-\frac{4}{3}$ некорректно и не подходит.

Таким образом, мы имеем только одно возможное значение $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Мы можем использовать обратную функцию синуса, чтобы найти соответствующее значение $x$:

$x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right).$

Для этого значения $x$ мы можем проверить, принадлежит ли оно интервалу $\left[\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Имеем:

$x \approx \frac{\pi}{6}.$

Теперь, чтобы проверить, принадлежит ли $\frac{\pi}{6}$ интервалу $\left[\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}\right]$