Question

Сколько решений имеет уравнение log₃(x+2) = 2 - |x| ?

Answer 1

log₃(x+2) = 2 - |x|.

Задачу решаем графически.

Рассмотрим функции у = log₃(x+2) и у = 2 - |x| и построим их графики.

1) у = log₃(x+2). Воспользуемся методом геометрических преобразований.

1. Строим график функции у = log₃(x) при x > 0;

2. Выполним параллельный перенос графика функции у = log₃(x) на 2 единицы влево и получим график функции у = log₃(x+2).

2) у = 2 - |x|. Также построим при помощи метода геометрических преобразований.

1. Строим график функции у = 2 - x при x ≥ 0;

2. Отобразим график функции у = 2 - x при x ≥ 0 симетрично относительно оси ординат и получим график функции у = 2 - |x|. Графики во вложении. Ка видно из построения, данное уравнение имеет только одно решение.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение по частям:

1. Посмотрим на выражение в аргументе логарифма: (x + 2). Чтобы логарифм существовал, значение аргумента должно быть положительным. Таким образом, x + 2 > 0, откуда получаем x > -2.

2. Затем рассмотрим выражение справа от равенства: 2 - |x|. Учитывая, что |x| всегда неотрицательно, максимальное значение этого выражения при x = 0, равное 2, а на интервале от x = 0 до x = +∞ значение этого выражения убывает. Таким образом, максимальное значение правой стороны уравнения равно 2.

Теперь перейдем к анализу левой стороны уравнения log₃(x+2):

3. Так как x + 2 > 0 (см. пункт 1), а основание логарифма равно 3, то аргумент логарифма (x + 2) должен быть больше нуля. Это уже уточняет интервал, в котором мы ищем решения: x > -2.

4. Теперь посмотрим на возрастание или убывание логарифма log₃(x + 2) с ростом x. Логарифмы возрастают, поэтому если x₁ > x₂, то log₃(x₁ + 2) > log₃(x₂ + 2).

Итак, левая сторона уравнения log₃(x + 2) возрастает с ростом x.

Теперь объединим все наши результаты:

• x + 2 > 0 => x > -2
• 2 - |x| ≤ 2

Таким образом, для правой стороны уравнения мы нашли, что ее максимальное значение равно 2, и оно достигается при x = 0.

Теперь сравним левую и правую стороны уравнения:

• Максимальное значение левой стороны log₃(x + 2) возрастает с ростом x и достигается при x → +∞.
• Максимальное значение правой стороны 2 достигается при x = 0.

Таким образом, уравнение log₃(x + 2) = 2 - |x| имеет одно решение, и оно равно x = 0.