Question

Найти решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям y''-6y'+9y=(9x^2)-12x+2 y(0)=1 y'(0)=3

Answer 1

1. Общее решение однородного уравнения y'' - 6y' + 9y = 0

k^2 - 6k + 9 = 0

(k - 3)^2 = 0

k = 3

y = (ax + b)*e^(3x)

2. Частное решение неоднородного y'' - 6y' + 9y = 9x^2 - 12x + 2

Т.к. k <> 0, ищем y в виде px^2 + qx + r

2p - 6(2px + q) + 9(px^2 + qx + r) = 9x^2 - 12x + 2

9px^2 = 9x^2 -> p = 1

-12px + 9qx = -12x -> q = 0

2p - 6q + 9r = 2 -> r = 0

y = x^2

Общее решение: y = x^2 + (ax + b)*e^(3x)

3. Начальные условия в т. 0

y(0) = b = 1

y'(0) = 2x + 3(ax + b)*e^(3x) + a*e^(3x) = 3b + a = 3

b = 1, a = 0

y = x^2 + e^(3x)

Answer 2

Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение

$\lambda^2-6\lambda+9=0$

имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения

$y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}$

Далее применим метод вариации. Тогда

$\left( \begin{array}{cc} e^{3 x} & e^{3 x} x \\ 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} C_1'(x) \\ C_2'(x) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 x^2-12 x+2 \\ \end{array} \right)$

Откуда получим

$C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)$

Интегрированием находим

$C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+B$

Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )

$y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}$

или

$y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2$

Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы

$\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.$

Откуда

$\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.$

Answer 3

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала найдем общее решение уравнения и затем, используя начальные условия, найдем частное решение.

Шаг 1: Находим характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

r^2 - 6r + 9 = 0

Шаг 2: Находим корни характеристического уравнения:

Используем квадратное уравнение для нахождения корней r:

r = (6 ± √(6^2 - 419)) / 2 r = (6 ± √(36 - 36)) / 2 r = (6 ± 0) / 2 r = 3

Таким образом, у нас есть два одинаковых корня r = 3.

Шаг 3: Находим общее решение дифференциального уравнения:

Общее решение для уравнения y'' - 6y' + 9y = 0 имеет вид:

y(x) = (C1 + C2x) * e^(3x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 4: Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Используем начальные условия: y(0) = 1 и y'(0) = 3

y(0) = (C1 + C20) * e^(30) = C1 = 1 y'(0) = C2 * e^(3*0) = C2 = 3

Таким образом, мы нашли значения произвольных постоянных: C1 = 1 и C2 = 3.

Шаг 5: Записываем частное решение:

Теперь, используя найденные значения C1 и C2, можем записать частное решение уравнения:

y(x) = (1 + 3x) * e^(3x)

Это является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 3.