Question

Тригонометрия 10-11 класс. Какие корни будут на отрезке [П;5П/2] при cosx = cos2x

Answer 1

$cosx=cos2x\\\\cos2x-cosx=0\\\\-2sin\frac{x}{2}\cdot sin\frac{3x}{2}=0\\\\a)\; \; sin\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pi n\; ,\; \; x=\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; sin\frac{3\pi }{2}=0\; ,\; \; \frac{3x}{2}=\pi k\; ,\; \; x=\frac{2\pi k}{3}\; ,\; k\in Z\\\\c)\; \; \frac{\pi n}{2}=\frac{2\pi k}{3}\; \; pri\; \; k=3n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{2\pi k}{3}\; ,\; k\in Z\; -\; otvet\\\\d)\; \; x\in [\, \pi ;\frac{5\pi }{2}\, ]:\; \; x_1=\frac{4\pi }{3}\; \; (k=2),\; x_2=2\pi \; \; (k=3).$

Answer 2

Для решения уравнения cos(x) = cos(2x) на отрезке [π, 5π/2], следует воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами функции косинуса.

Тригонометрическое тождество, которое нам пригодится, звучит так:

cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Теперь подставим это тождество в уравнение:

cos(x) = 2 * cos^2(x) - 1

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

2 * cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Пусть t = cos(x), тогда уравнение становится:

2 * t^2 - t - 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -1, c = -1.

D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант D положителен, у нас будут два различных корня:

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь, чтобы найти значения x, воспользуемся свойствами функции косинуса:

cos(x) = t

Для t₁ = 1:

cos(x) = 1

На отрезке [π, 5π/2] косинус равен 1 только при x = π.

Для t₂ = -1/2:

cos(x) = -1/2

На отрезке [π, 5π/2] косинус равен -1/2 в двух точках: одна точка находится между π и 3π/2, а вторая — между 3π/2 и 2π.

Таким образом, корни уравнения cos(x) = cos(2x) на отрезке [π, 5π/2] будут: x = π, x принадлежит (π, 3π/2) и x принадлежит (3π/2, 2π).