Question

Большая диагональ трапеции является бисектрисой тупого угла. Доказать что большая диагональ трапеции равняется одной из боковых сторон. Напишите полный ответ плиз!!!

Answer 1

чертеж не очень удачный, надо сделать поточнее

Answer 2

Для доказательства утверждения, что большая диагональ трапеции является равной одной из её боковых сторон, давайте рассмотрим следующую трапецию ABCD:

cssCopy code
     A ____________ B
    /                 \
   /________________\
 D                             C

где AB и CD - параллельные стороны трапеции, а AD и BC - боковые стороны.

По условию задачи, большая диагональ AC является бисектрисой тупого угла BAD (угол BAD обозначаем как α), что означает, что угол BAC равен углу CAD (обозначим его как β).

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, так как имеет два прямых угла: угол в точке B и угол в точке C.

Таким образом, у нас есть следующие углы:

∠ABC = 90° (прямой угол) ∠BAC = β (по условию) ∠ACB = 90° (прямой угол)

Теперь рассмотрим треугольник ADC:

∠ADC = 180° - ∠BAC (сумма углов внутри треугольника ADC) ∠ADC = 180° - β

Также у нас есть угол BAD (обозначим его как α), который является тупым углом.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник BAC:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° (сумма углов внутри треугольника BAC) β + 90° + 90° = 180° β + 180° = 180° β = 0°

Так как угол β равен нулю, это означает, что угол BAC также равен нулю.

Теперь, вернемся к треугольнику ADC:

∠ADC = 180° - β ∠ADC = 180° - 0° ∠ADC = 180°

Таким образом, угол ADC является прямым углом.

Мы знаем, что прямоугольник (треугольник ADC в нашем случае) имеет две равные диагонали. Пусть точка M будет точкой пересечения диагоналей AC и BD:

cssCopy code
     A ____________ B
    /                 \
   M________________\
 D                             C

Так как у нас есть прямоугольный треугольник ADC с прямым углом в точке M, а диагональ AC является бисектрисой угла BAD (угол α), это означает, что AM = MC (по свойствам прямоугольного треугольника с бисектрисой угла).

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABM:

Так как AM = MC (как мы только что выяснили) и угол AMB является общим углом для треугольников ABM и CDM (потому что они оба лежат на прямой AC), то треугольники ABM и CDM являются равнобедренными треугольниками.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны, исходящие из вершины с равными углами, также равны. Таким образом, мы можем заключить, что:

BM = MD

Итак, мы доказали, что большая диагональ AC трапеции ABCD равна одной из её боковых сторон, BM или MD.